Dubbio integrali improprio

[nicolétoile]

Salve...volevo sapere se avevo ben capito....
se ho due funzioni $f,g:[a,b) \to RR$ e sono entrabe positive e $f
allora $lim_(x->b)(f(x))/g(x) =0$ allora sicuramente ci sarà la convergenza


$lim_(x->b)(f(x))/g(x) =L>0$ allora la divergenza


inoltre se io devo confrontare gli integrali, per trovarne uno affine va bene se uno i polinomi di taylor????

ESEMPIO: $\int_0^2 (sin x)/(ln x)" d"x$


quindi ho $f(x)= (sinx)/(lnx)$ e $g(x)= x/(x-1)$

io ho fatto $lim_(x->0)(f(x))/g(x) =1$ ....poi facendo l'integrale di $g(x)=x/x-1$ ottengo più infinito....faccio bene così?
altrimenti come la trovo la funzione da confrontare???

scusate se nn ho scritto l'integrale in simboli ma avevo problemi con il seno e il ln

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Per il momento sei perdonata ed ho inserito io le formule.

Tuttavia, visto che dal 30° post sei obbligata per regolamento ad usare (correttamente) il MathML, ti consiglio vivamente di fare pratica, di guardare come ho inserito le formule nel tuo post e di leggere attentamente la guida.[/mod]

"nicolétoile":Salve...volevo sapere se avevo ben capito....
se ho due funzioni $f,g:[a,b) \to RR$ e sono entrabe positive e $f
allora $lim_(x->b^(-))(f(x))/g(x) =0$ allora sicuramente ci sarà la convergenza


$lim_(x->b^(-))(f(x))/g(x) =L>0$ allora la divergenza

Divergenza o convergenza di che cosa?

"nicolétoile":ESEMPIO: $\int_0^2 (sin x)/(ln x)" d"x$

ho $f(x)= (sinx)/(lnx)$ e $g(x)= x/(x-1)$

io ho fatto $lim_(x->0)(f(x))/g(x) =1$ ....poi facendo l'integrale di $g(x)=x/x-1$ ottengo più infinito....faccio bene così?
altrimenti come la trovo la funzione da confrontare???

Qui la funzione integranda è un infinitesimo in $0$ d'ordine infinitamente grande: infatti:

$lim_(x\to 0^+) (sin x)/(lnx)=lim_(y\to -oo) (sin e^y)/y=lim_(y\to -oo) (sin e^y)/e^y *e^y/y$

col primo fattore convergente (ad $1$ per il limite fondamentale del seno) ed il secondo infinitesimo d'ordine infinitamente grande.
Pertanto l'integrando può essere prolungato con continuità su $0$ e l'integrale converge certamente.

[nicolétoile]

ok, scusa, forse ero stata poco chiara all'inizio...mi riferivo agli integrali impropri...
se io volessi applicare il metodo del confronto...la funzione g(x) che ho scelto va bene? è corretto comunque come ho svolto l'esercizio? inoltre quado ho scritto:

$lim_(x->b)f(x)/g(x)$=0 allora sicuramente ci sarà la convergenza


$lim_(x->b)f(x)/g(x)$=L>0 allora la divergenza

volevo dire che se trovata una funzione g(x) che soddisfa una di queste due condizioni e poi ne vado a calcolare l'integrale allora ottengo la convergenza o la divergenza della f(x)..........?

[gugo82]

Ma a che ti serve il criterio del confronto, visto che hai a che fare con una funzione che presenta solo una "falsa discontinuità" in $0$?

Se una $f$ può essere prolungata con continuità sul punto $a$ dall'interno di $]a,b]$, allora $\int_a^b f(x) " d"x$ esiste finito e coincide con l'integrale del prolungamento continuo di $f$ ad $[a,b]$.

[nicolétoile]

si, ok, ques'ho capito, però volevo sapere e i polinomi di taylor e tutto il resto che ho scritto può essere appilcato ad un altro qualsiasi caso, diverso da quello che ho preso....

[gugo82]

Beh, sì... In linea di principio puoi fare ciò che vuoi e che lecito, basta che fai attenzione ad applicare la cosa giusta al momento giusto.

[nicolétoile]

Ciao, in pratica avevo sbagliato a scrivere l'intervallo
[2,+00)....

[gugo82]

ASDASDASD (sghignazzo)

In $[2,+oo[$ la situazione è più delicata.
In effetti $(sin x)/(ln x)$ è infinitesima all'infinito, ma è un infinitesimo piuttosto "fetente": infatti, comunque fissi $alpha>0$, hai:

$|(sin x)/(ln x)|/(1/|x|^alpha)= x^alpha/(ln x) |sin x|$

e questa funzione non è regolare in $+oo$, giacché ha $minlim_(x\to +oo)x^alpha/(ln x) |sin x|=0$ e $maxlim_(x\to +oo) x^alpha/(ln x) |sin x|=+oo$.
Quindi il tuo infinitesimo non è dotato di ordine (rispetto ad $1/x$) ma è sicuramente d'ordine inferiore ad ogni $alpha >0$; in particolare è d'ordine inferiore ad $alpha=1$, cosicché $(sin x)/(ln x)$ non è sommabile in $[2,+oo[$.

Tuttavia non si può escludere una convergenza semplice dell'integrale improprio $\int_2^(+oo) (sin x)/(ln x)" d"x$; infatti si può scrivere:

$\int_2^(+oo) (sin x)/(ln x)" d"x=\int_2^pi (sin x)/(ln x)" d"x +\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n \int_(npi)^((n+1)pi) |sin x|/(ln x)" d"x$

(spezzettando gli intervalli in cui $sin x<=0$ e quelli in cui $sin x>=0$) e la serie a segni alterni costituita dagli addendi $(-1)^n \int_(npi)^((n+1)pi) |sin x|/(ln x)" d"x$ potrebbe convergere per Leibniz pur non convergendo assolutamente.
Questo però è un problema difficile (o almeno così mi pare al momento).