Dubbio Integrali: convergenza e crescenza delle primitive
Ciao a tutti.
Ho un pò di problemi con gli integrali (parliamo di indefiniti).
Non riesco a capire bene se mi viene dato un integrale \( F(x)= \int_{}^{} f(x)\, dx \) cosa posso dire di una sua primitiva.
Cioè, so di per certo che se la funzione f(x) è pari, allora la sua primitiva è dispari. Ma non so comportarmi bene su cosa aggiungere. Ad esempio cosa dire della sua crescenza o decrescenza, cosa dire se è limitata o meno, se ha asintoti o no, se è positiva in un certo intervallo o no e così via...
Ad esempio, di questo integrale:
\( \int_{0}^{x} e\exp (-3t^2) cost\, dt \)
(l'esponente di e è (-3t^2))
mi viene chiesto se F(x) è una funzione strettamente monotona in R , se è positiva su [0,π/2] , se F(x) ∼ x^2, x → 0, se F(x) è illimitata o se F(x) non ha asintoti.
Grazie
Ho un pò di problemi con gli integrali (parliamo di indefiniti).
Non riesco a capire bene se mi viene dato un integrale \( F(x)= \int_{}^{} f(x)\, dx \) cosa posso dire di una sua primitiva.
Cioè, so di per certo che se la funzione f(x) è pari, allora la sua primitiva è dispari. Ma non so comportarmi bene su cosa aggiungere. Ad esempio cosa dire della sua crescenza o decrescenza, cosa dire se è limitata o meno, se ha asintoti o no, se è positiva in un certo intervallo o no e così via...
Ad esempio, di questo integrale:
\( \int_{0}^{x} e\exp (-3t^2) cost\, dt \)
(l'esponente di e è (-3t^2))
mi viene chiesto se F(x) è una funzione strettamente monotona in R , se è positiva su [0,π/2] , se F(x) ∼ x^2, x → 0, se F(x) è illimitata o se F(x) non ha asintoti.
Grazie
Risposte
Ciao.
Prima una piccola cosa:
*$int f(x)dx$ è un integrale indefinito (=insieme di funzioni);
*$int_a^b f(x)dx$ è un integrale definito (=costante), con $a,b in RR$;
*$int_(alpha(x))^(beta(x)) f(t)dt$ è una funzione integrale (=una singola funzione), con $alpha(x),beta(x)$ funzioni di $x$ o non entrambi costanti.
Questa è una funzione integrale:
$F(x)=int_0^x e^(-3t^2)cos(t)dt$
La prima cosa da fare è controllarne il dominio: poiché non è un caso improprio, basta controllare il dominio dell'integranda, che è...
EDIT: piccola correzione
Prima una piccola cosa:
*$int f(x)dx$ è un integrale indefinito (=insieme di funzioni);
*$int_a^b f(x)dx$ è un integrale definito (=costante), con $a,b in RR$;
*$int_(alpha(x))^(beta(x)) f(t)dt$ è una funzione integrale (=una singola funzione), con $alpha(x),beta(x)$ funzioni di $x$ o non entrambi costanti.
Questa è una funzione integrale:
$F(x)=int_0^x e^(-3t^2)cos(t)dt$
La prima cosa da fare è controllarne il dominio: poiché non è un caso improprio, basta controllare il dominio dell'integranda, che è...
EDIT: piccola correzione
Innanzitutto ti ringrazio per la chiarezza.
Se non sbaglio, il dominio dell'integranda dovrebbe essere dove si annulla il coseno, dato che l'esponenziale non si annulla mai. Quindi direi
\( x\neq \frac{\pi }{2} + k\pi \) con \( k \in \mathbb{N} \)
Ora?
Se non sbaglio, il dominio dell'integranda dovrebbe essere dove si annulla il coseno, dato che l'esponenziale non si annulla mai. Quindi direi
\( x\neq \frac{\pi }{2} + k\pi \) con \( k \in \mathbb{N} \)
Ora?
Sì, è vero che l'esponenziale non si annulla mai, ma perché $cos(x)=0$ dovrebbe turbarci? Non è mica al denominatore 
E' vero, hai ragione. Quindi il dominio è \( \mathbb{R} \) giusto?
Esatto.
Ora possiamo ricavare e studiare la derivata prima, attraverso la formula
$F'(x)=f(beta(x))beta'(x)-f(alpha(x))alpha'(x)$
e viene...
Ora possiamo ricavare e studiare la derivata prima, attraverso la formula
$F'(x)=f(beta(x))beta'(x)-f(alpha(x))alpha'(x)$
e viene...
Perdonami ma non so creare l'esponente. Ho calcolato e mi esce
\( F'(x)= (e^(-3x^2))(sin(x)-6xcos(x)) \)
piccolo dubbio:
\( F'(x)= f(x) \)
a quanto pare non centra nulla... o riguarda gli integrali indefiniti e non le funzioni integrali?
\( F'(x)= (e^(-3x^2))(sin(x)-6xcos(x)) \)
piccolo dubbio:
\( F'(x)= f(x) \)
a quanto pare non centra nulla... o riguarda gli integrali indefiniti e non le funzioni integrali?
"pietro18m":
Perdonami ma non so creare l'esponente.
Clicca su "cita" dove l'ho inserito e guarda come l'ho scritto
"pietro18m":
Ho calcolato e mi esce
\( F'(x)= (e^(-3x^2))(sin(x)-6xcos(x)) \)
piccolo dubbio: ricordo qualcosa del genere:
\( F'(x)= f(x) \)
a quanto pare non centra nulla... o riguarda gli integrali indefiniti e non le funzioni integrali?
No, attento: guardando la formula generale di derivazione devi scrivere l'integranda sostituendo $t$ con l'estremo di integrazione superiore ($beta(x)=x$) moltiplicata per la sua derivata ($d/(dx)x=1$). Poi dovresti fare la stessa cosa con l'estremo di integrazione inferiore, ma qui è inutile perché è una costante, e quando poi ti calcoli la derivata fa ovviamente $0$.
In effetti, qui vale quanto hai scritto (\( F'(x)= f(x) \)), ma solo perché l'estremo superiore è $x$ e l'estremo inferiore è una costante, altrimenti usa la formula generale
Ecco perchè non mi tornavano i conti. Mi stavo già confondendo le idee perchè mi sembrava strano che si integrasse per parti.
Quindi
$F'(x)= e^(-3x^2)cos(x)$
Adesso?
p.s.
non riuscivo a creare l'esponenziale perchè avevo selezionato la scrittura LaTeX
Quindi
$F'(x)= e^(-3x^2)cos(x)$
Adesso?
p.s.
non riuscivo a creare l'esponenziale perchè avevo selezionato la scrittura LaTeX
Ora che abbiamo la derivata prima, possiamo studiarne la positività per trovare dove la funzione è crescente.
Quindi studiare dove è positivo il coseno?
Sì, basta lo studio del coseno perché l'esponenziale è sempre strettamente positivo.
\( x\neq \frac{\pi }{2} + k\pi \) con \( k \in \mathbb{N} \)
Quindi non è crescente su tutto $ mathbb(R) $ (perchè si annulla infinite volte e quindi oscillante).
Quindi sappiamo sicuramente che: F(x) non è strettamente monotona in $ mathbb(R) $ perchè la sua derivata non è strettamente monotona in $ mathbb(R) $
A questo punto direi che è illimitata (perchè cresce sempre oscillando), non ha asintoti (perchè il lim a +o - infinito non esiste).
Il problema è che (secondo me) son giuste entrambe ma so già che è giusta solo 1 e manca da verificare che F(x) ∼ x^2, x → 0 e se è positiva su [0,π/2].
Per controllare se è positiva su quell'intervallo posso usare il teorema dei valori intermedi.
Di tutto ciò che ho scritto, quanto ho sbagliato?
Quindi non è crescente su tutto $ mathbb(R) $ (perchè si annulla infinite volte e quindi oscillante).
Quindi sappiamo sicuramente che: F(x) non è strettamente monotona in $ mathbb(R) $ perchè la sua derivata non è strettamente monotona in $ mathbb(R) $
A questo punto direi che è illimitata (perchè cresce sempre oscillando), non ha asintoti (perchè il lim a +o - infinito non esiste).
Il problema è che (secondo me) son giuste entrambe ma so già che è giusta solo 1 e manca da verificare che F(x) ∼ x^2, x → 0 e se è positiva su [0,π/2].
Per controllare se è positiva su quell'intervallo posso usare il teorema dei valori intermedi.
Di tutto ciò che ho scritto, quanto ho sbagliato?
Abbiamo scoperto che $F(x)$ cresce solo negli intervalli $-pi/2+kpi
Hai ragione:
$ lim_(x -> +-oo ) e^(-x^2)cosx =0 $
Quindi la risposta esatta è che è positiva in [0, π/2]?
Perchè le altre no?
$ lim_(x -> +-oo ) e^(-x^2)cosx =0 $
Quindi la risposta esatta è che è positiva in [0, π/2]?
Perchè le altre no?
Sono ancora in attesa...
In $[0,pi/2]$ sappiamo che cresce, perché $F'(x)=e^(-x^2)cos(x)>=0$ in tale intervallo. Di per sè ciò non giustificherebbe che $F(x)$ sia qui positiva, ma ci accorgiamo che in $x_0=0$ si ha
$F(0)=int_0^0 f(t)dt=0$
e quindi, ricollegandoci allo studio di $F'(x)$, si può affermare che in tale intervallo l'integrale è sicuramente positivo.
EDIT:
per controllare se $F(x) ~ x^2$ per $x->0$ si potrebbe agire così: la relazione di asintoticità si può riscrivere come
$lim_(x->0)(F(x))/x^2=l$, con $l in RR \\ {0}$
Vediamo bene che
$lim_(x->0) (int_0^x f(t)dt)/x^2=0/0$
e allora possiamo impiegare Hopital:
$=text(Hopital)=>lim_(x->0^pm)(F'(x))/(2x)=(e^(-3x^2)cos(x))/(2x)=(1)/0^pm=pmoo$
da ciò concludiamo che la relazione $F(x) ~ x^2$ per $x->0$ non è verificata.
NB: è verificata invece la relazione $F(x) ~ x$ per $x->0$, basta controllare con lo stesso metodo.
$F(0)=int_0^0 f(t)dt=0$
e quindi, ricollegandoci allo studio di $F'(x)$, si può affermare che in tale intervallo l'integrale è sicuramente positivo.
EDIT:
per controllare se $F(x) ~ x^2$ per $x->0$ si potrebbe agire così: la relazione di asintoticità si può riscrivere come
$lim_(x->0)(F(x))/x^2=l$, con $l in RR \\ {0}$
Vediamo bene che
$lim_(x->0) (int_0^x f(t)dt)/x^2=0/0$
e allora possiamo impiegare Hopital:
$=text(Hopital)=>lim_(x->0^pm)(F'(x))/(2x)=(e^(-3x^2)cos(x))/(2x)=(1)/0^pm=pmoo$
da ciò concludiamo che la relazione $F(x) ~ x^2$ per $x->0$ non è verificata.
NB: è verificata invece la relazione $F(x) ~ x$ per $x->0$, basta controllare con lo stesso metodo.
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