Dubbio integrale improprio parametrico
Ciao ragazzi, ho un dubbio rispetto a questo integrale improprio: \(\displaystyle \int ( 1-cos(2x) ) / ( x^a) \) di estremi 0 e 1.
Il procedimento che seguo dovrebbe essere corretto. Utilizzo il criterio del confronto asintotico attraverso il quale ,
x->0 ed essendo anche l'unico estremo di integrazione in cui devo valutare la funzione, \(\displaystyle 1-cos(2x) \) è asintotico a \(\displaystyle 2x^2 \).
Così mi riconduco a un integrale di questo genere: \(\displaystyle \int 1/( x) \) dove l'esponente della x è : a-2 .
Il problema sorge quando valuto i valori di a verifico la convergenza e la divergenza dell'integrale improprio.
Mi sono ricondotto all'integrale improprio notevole dove , nel nostro caso l' integrale improprio converge se a-2<0 e diverge se a-2>= 0 . Pero quando vado a vedere la soluzione dell'esercizio mi dice che deve essere per la convergenza a<3 e divergenza a>=3.
Come mai?
grazie mille e scusate il disturbo!
Il procedimento che seguo dovrebbe essere corretto. Utilizzo il criterio del confronto asintotico attraverso il quale ,
x->0 ed essendo anche l'unico estremo di integrazione in cui devo valutare la funzione, \(\displaystyle 1-cos(2x) \) è asintotico a \(\displaystyle 2x^2 \).
Così mi riconduco a un integrale di questo genere: \(\displaystyle \int 1/( x) \) dove l'esponente della x è : a-2 .
Il problema sorge quando valuto i valori di a verifico la convergenza e la divergenza dell'integrale improprio.
Mi sono ricondotto all'integrale improprio notevole dove , nel nostro caso l' integrale improprio converge se a-2<0 e diverge se a-2>= 0 . Pero quando vado a vedere la soluzione dell'esercizio mi dice che deve essere per la convergenza a<3 e divergenza a>=3.
Come mai?
grazie mille e scusate il disturbo!
Risposte
La funzione integranda è asintotica a
\[
\frac{2}{x^{a-2}}\,,\qquad x\to 0^+;
\]
l'integrale improprio è dunque convergente se \(a-2<1\) mentre diverge se \(a-2 \geq 1\).
\[
\frac{2}{x^{a-2}}\,,\qquad x\to 0^+;
\]
l'integrale improprio è dunque convergente se \(a-2<1\) mentre diverge se \(a-2 \geq 1\).
Oh santo cielo, scusate, mi ritiro. Grazie rigel! Mi scuso per averti fatto perdere tempo.
"Dave95":
Oh santo cielo, scusate, mi ritiro. Grazie rigel! Mi scuso per averti fatto perdere tempo.
Non preoccuparti, lo svarione capita a tutti...
(Io ne ho fatto uno giusto ieri su questo forum.)
Grazie mille, Rigel. Mi rincuora questa cosa.
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