Dubbio integrale improprio notevole
Ciao a tutti!
Sia $f:(a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione a valori positivi ed asintoticamente equivalente all'infinito campione $\frac{1}{(x-a)^{\alpha}$ per $x \to a^+$, allora
$\int_a^b f(x)dx$ converge $iff \int_a^b\frac{1}{(x-a)^{\alpha}dx$ converge $iff \alpha <1$.
Cosa dire però nel caso in cui la funzione sia illimitata nell'altro estremo di integrazione, ovvero $f:[a,b) \to \mathbb{R}?$ Esiste un'equivalente "infinito campione" con cui confrontare la funzione integranda?
Ad esempio, nella soluzione di un esercizio ho notato che l'integrale $\int_0^2\frac{1}{(2-x)^{\alpha}}dx$ viene definito come integrale improprio notevole. Si può concludere ciò perché vale la seguente equivalenza?
Sia $y=2-x$. Allora $dy=-dx$ e $\int_0^2\frac{1}{(2-x)^{\alpha}}dx = -\int_2^0\frac{1}{y^{\alpha}}dy=\int_0^2\frac{1}{y^{\alpha}}dy$, dove quest'ultimo ha la funzione integranda nella forma $\frac{1}{(x-a)^{\alpha}$
Sia $f:(a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione a valori positivi ed asintoticamente equivalente all'infinito campione $\frac{1}{(x-a)^{\alpha}$ per $x \to a^+$, allora
$\int_a^b f(x)dx$ converge $iff \int_a^b\frac{1}{(x-a)^{\alpha}dx$ converge $iff \alpha <1$.
Cosa dire però nel caso in cui la funzione sia illimitata nell'altro estremo di integrazione, ovvero $f:[a,b) \to \mathbb{R}?$ Esiste un'equivalente "infinito campione" con cui confrontare la funzione integranda?
Ad esempio, nella soluzione di un esercizio ho notato che l'integrale $\int_0^2\frac{1}{(2-x)^{\alpha}}dx$ viene definito come integrale improprio notevole. Si può concludere ciò perché vale la seguente equivalenza?
Sia $y=2-x$. Allora $dy=-dx$ e $\int_0^2\frac{1}{(2-x)^{\alpha}}dx = -\int_2^0\frac{1}{y^{\alpha}}dy=\int_0^2\frac{1}{y^{\alpha}}dy$, dove quest'ultimo ha la funzione integranda nella forma $\frac{1}{(x-a)^{\alpha}$
Risposte
Ciao! Innanzitutto, dovresti considerare $\frac{1}{|x-a|^{\alpha}$ perché, generalmente, si definiscono le potenze ad esponente reale per basi non negative. Quello che dici è giusto, basta fare una sostituzione per ricondursi al caso precedente.
Perfetto @Mephlip, grazie mille!
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