Dubbio integrale forma differenziale

[floyd1231]

Ciao a tutti, ho un dubbio sul calcolo dell'integrale di una forma differenziale: dopo aver trovato una primitiva, devo calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale esteso alla circonferenza di centro $ [0, 3] $ e raggio $ 1 $.
Il dubbio è: gli estremi di integrazione quali sono? Non riesco a visualizzarli.

[donald_zeka]

Gli estremi di integrazione saranno il punto iniziale e finale della curva, no?...

[floyd1231]

Ok, ma che equazione ha la curva?
La circonferenza ha equazione $ (x-0)^(2)+(y-3)^(2)=1 $

[dissonance]

@floyd: ma no, è molto più semplice di quanto pensi. Certo, studiare un minimo di teoria non guasterebbe. Si vede che la stai saltando a pié pari, perché nella teoria si parla continuamente di *curve chiuse*.

[floyd1231]

dissonance, se mi fosse stato richiesto di calcolare, ad esempio, l'integrale curvilineo esteso a $ gamma $ della forma differenziale, dove $ gamma $ è l'arco di curva $ y = sqrtx $, $ x in [1,2] $ orientata nel verso delle $ x $ crescenti, avrei saputo procedere (sarebbe bastato semplicemente sostituire).
Qui, invece, non capisco come procedere.

[dissonance]

Ma qui è molto più semplice. Se la tua forma differenziale ammette primitiva allora l'integrale su una curva chiusa si annulla. Per sapere perché devi studiare i fondamentali della teoria.

[floyd1231]

Giusto! Per il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte! Lo conosco, ma credimi, non mi era minimamente venuto in mente... grazie mille

[dissonance]

Perché non lo hai imparato bene. Una curva chiusa è una curva in cui i due estremi coincidono. Applicando la formula fondamentale del calcolo integrale ad una forma differenziale dotata di primitiva, si ottiene zero. Non è possibile, quindi, che tu ti senta a tuo agio con la formula fondamentale del calcolo su una curva non chiusa e non su una curva chiusa. Meglio riflettere un po' su questo.