Dubbio integrale doppio e coordinate polari
Salve a tutti , ritorno dopo aver passato quasi esclusivamente grazie a questo forum l'esame di analisi 1 ( con un bel 30 xD ) , cosa per la quale non smetterò mai di ringraziarvi .
Ma adesso sono alle prese con analisi 2 , e sto avendo difficoltà nell'integrazione in più variabili .
Mi spiego : ho difficoltà nell'individuare gli intervalli di variazione di "ro" e "theta" .
Vado subito con un esempio .
Ho un insieme H del genere :
$ H:[ (x,y)in R^2 : x^2 + y^2 <= 4x , x^2 +y^2 >= 1] $
Quindi ho una circonferenza di centro ( 2 ; 0) e raggio 2 , e la circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine , l'insieme H è costituita da tutta la circonferenza di raggio 2 esclusa l'intersezione(lo spicchio in comune) con quella di raggio 1 .
Ora se io volessi esprimere questo dominio in coordinate polari , sono quasi certo di poter dire che il raggio varia da un valore minimo di 1 a un valore massimo di 2 ; ma l'angolo theta?
Pur avendo l'immagine davanti agli occhi mi risulta difficile capirlo .
Qualche idea? a me disturba la circonferenza piccola , sennò l'angolo varierebbe fra 0 e 2Pi ... ma non penso proprio sia così .
L'esercizio mi chiede di calcolare l'area del dominio H ( ma questo è irrilevante , vorrei fare chiarezza sull'impostazione più che altro )
Grazie in anticipo .
Ma adesso sono alle prese con analisi 2 , e sto avendo difficoltà nell'integrazione in più variabili .
Mi spiego : ho difficoltà nell'individuare gli intervalli di variazione di "ro" e "theta" .
Vado subito con un esempio .
Ho un insieme H del genere :
$ H:[ (x,y)in R^2 : x^2 + y^2 <= 4x , x^2 +y^2 >= 1] $
Quindi ho una circonferenza di centro ( 2 ; 0) e raggio 2 , e la circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine , l'insieme H è costituita da tutta la circonferenza di raggio 2 esclusa l'intersezione(lo spicchio in comune) con quella di raggio 1 .
Ora se io volessi esprimere questo dominio in coordinate polari , sono quasi certo di poter dire che il raggio varia da un valore minimo di 1 a un valore massimo di 2 ; ma l'angolo theta?
Pur avendo l'immagine davanti agli occhi mi risulta difficile capirlo .
Qualche idea? a me disturba la circonferenza piccola , sennò l'angolo varierebbe fra 0 e 2Pi ... ma non penso proprio sia così .
L'esercizio mi chiede di calcolare l'area del dominio H ( ma questo è irrilevante , vorrei fare chiarezza sull'impostazione più che altro )
Grazie in anticipo .
Risposte
Se sostituisci direttamente le coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$, le equazioni che definiscono il dominio divengono
$$\rho^2\le 4\rho\cos\theta,\quad \rho^2\ge 1$$
e ancora, ricordando che per definizione $\rho\ge 0$
$$\rho\le 4\cos\theta,\quad \rho\ge 1$$
Ora, per capire le limitazioni presenti, prova a disegnare i grafici di queste due funzioni su un piano cartesiano $\theta O \rho$: ti accorgerai che il tuo dominio si trasforma nell'unione di due spazi, il primo definito da
$$\theta\in[0,\alpha],\ 1\le\rho\le 4\cos\theta$$
e il secondo definito da
$$\theta\in[2\pi-\alpha],\ 1\le\rho\le 4\cos\theta$$
essendo $\cos\alpha=1$.
$$\rho^2\le 4\rho\cos\theta,\quad \rho^2\ge 1$$
e ancora, ricordando che per definizione $\rho\ge 0$
$$\rho\le 4\cos\theta,\quad \rho\ge 1$$
Ora, per capire le limitazioni presenti, prova a disegnare i grafici di queste due funzioni su un piano cartesiano $\theta O \rho$: ti accorgerai che il tuo dominio si trasforma nell'unione di due spazi, il primo definito da
$$\theta\in[0,\alpha],\ 1\le\rho\le 4\cos\theta$$
e il secondo definito da
$$\theta\in[2\pi-\alpha],\ 1\le\rho\le 4\cos\theta$$
essendo $\cos\alpha=1$.
Allora ti ringrazio per la tempestività xD
Io per istinto avrei usato le coordinate polari traslate , perché la figura non è "centrata" in ( 0, 0)
cioè quelle del tipo
$ x=x(c) + rhocostheta ; y= y(c)+rhosentheta $
considerando il centro in (2;0) ; però non so se andassero realmente usate in questo caso , visto che stiamo solo vedendo entro quali valori varia il raggio ; quelle vanno usate quando vado integrare vero?
Poi non capisco ancora gli intervalli entro cui varia thetha , cioè a me sembra guardando la figura ( ho davanti agli occhi il grafico ) che ad un valore del raggio uguale ad 1 corrisponda un valore di theta di pigreca , però forse non ho ben chiaro il
significato di theta .
in quali due settori divideresti la figura? il semicerchio (tolto il pezzo dell'altro cerchio) sopra il semiasse positivo delle ascisse e quello sotto?
Io per istinto avrei usato le coordinate polari traslate , perché la figura non è "centrata" in ( 0, 0)
cioè quelle del tipo
$ x=x(c) + rhocostheta ; y= y(c)+rhosentheta $
considerando il centro in (2;0) ; però non so se andassero realmente usate in questo caso , visto che stiamo solo vedendo entro quali valori varia il raggio ; quelle vanno usate quando vado integrare vero?
Poi non capisco ancora gli intervalli entro cui varia thetha , cioè a me sembra guardando la figura ( ho davanti agli occhi il grafico ) che ad un valore del raggio uguale ad 1 corrisponda un valore di theta di pigreca , però forse non ho ben chiaro il
significato di theta .
in quali due settori divideresti la figura? il semicerchio (tolto il pezzo dell'altro cerchio) sopra il semiasse positivo delle ascisse e quello sotto?
Allora, il grafico lo realizzo così: asse x, variabile $\theta$ (con variazione tra $0$ e $2\pi$); asse y, variabile $\rho$ (con variazione $>0$).
Le due curve da inserire sono $\rho=1$, $\rho=4\cos\theta$: la prima è una retta parallela all'asse delle ascisse passante per il valore $1$ dell'asse delle ordinate; la seconda è il grafico della funzione coseno dilatato per $4$. Visto che le disuguaglianze impongono di prendere i valori di $\rho$ sopra la retta e sotto la curva del coseno, dovrai prendere i due "spicchi" che stanno all'inizio e alla fine della figura che viene fuori, selezionando, per la limitazione di $\theta$, i valori nei punti di intersezione tra le due curve, cioè dove $4\cos\theta=1$ (da cui la scelta di un angolo $\alpha\in[0,\pi/2]$ per il quale $\cos\theta=1/4$).
Le due curve da inserire sono $\rho=1$, $\rho=4\cos\theta$: la prima è una retta parallela all'asse delle ascisse passante per il valore $1$ dell'asse delle ordinate; la seconda è il grafico della funzione coseno dilatato per $4$. Visto che le disuguaglianze impongono di prendere i valori di $\rho$ sopra la retta e sotto la curva del coseno, dovrai prendere i due "spicchi" che stanno all'inizio e alla fine della figura che viene fuori, selezionando, per la limitazione di $\theta$, i valori nei punti di intersezione tra le due curve, cioè dove $4\cos\theta=1$ (da cui la scelta di un angolo $\alpha\in[0,\pi/2]$ per il quale $\cos\theta=1/4$).
hmm quindi a quanto non è semplicissimo calcolare l'area di questo dominio usando le coordinate polari
i due intervalli di theta sarebbero da 0 a un generico alfa e l'altro? dal generico alfa a ..? ( con generico alfa intendo compreso nell'intervallo che hai detto tu , cioè un angolo il cui coseno sia un 1/4)
Sarà l'ora ma sto facendo una fatica immane...e comunque impostandola così non sarei in grado di calcolare un integrale ...pensavo avrebbe semplificato .
Conviene usare i domini semplici rispetto ad x e y?
edit :
ripensandoci dimmi se ho capito...
tu dici
$ thetain [0 , a] $
Con $ a=arccos(1/4) $
(cioè la coordinata theta del punto di intersezione tra le due curve)
e il secondo intervallo? ( cioè il secondo spicchio)
potrebbe essere
$ thetain [2pi-a;2pi] $
Quindi così facendo , se volessi calcolare l'area del dominio :
$ int int_(H) dx dy =A(H) $
in coordinate polari ho :
$ int int_(Q) drhod theta + int int_(W) drhod theta = A(H) $
(ho omesso i determinanti delle jacobiane)
Con
$ Q : [(rhocostheta ,rhosentheta)in R^2 : 1<=rho<=4costheta ; 0 <= theta<=arccos(1/4)] $
e
$ W : [(rhocostheta ,rhosentheta)in R^2 : 1<=rho<=4costheta ;2pi-arccos(1/4)<= theta<=2pi] $
Cioè faccio la somma degli integrali calcolati sui due sottoinsiemi che hai detto tu , non so se è giusto però .
i due intervalli di theta sarebbero da 0 a un generico alfa e l'altro? dal generico alfa a ..? ( con generico alfa intendo compreso nell'intervallo che hai detto tu , cioè un angolo il cui coseno sia un 1/4)
Sarà l'ora ma sto facendo una fatica immane...e comunque impostandola così non sarei in grado di calcolare un integrale ...pensavo avrebbe semplificato .
Conviene usare i domini semplici rispetto ad x e y?
edit :
ripensandoci dimmi se ho capito...
tu dici
$ thetain [0 , a] $
Con $ a=arccos(1/4) $
(cioè la coordinata theta del punto di intersezione tra le due curve)
e il secondo intervallo? ( cioè il secondo spicchio)
potrebbe essere
$ thetain [2pi-a;2pi] $
Quindi così facendo , se volessi calcolare l'area del dominio :
$ int int_(H) dx dy =A(H) $
in coordinate polari ho :
$ int int_(Q) drhod theta + int int_(W) drhod theta = A(H) $
(ho omesso i determinanti delle jacobiane)
Con
$ Q : [(rhocostheta ,rhosentheta)in R^2 : 1<=rho<=4costheta ; 0 <= theta<=arccos(1/4)] $
e
$ W : [(rhocostheta ,rhosentheta)in R^2 : 1<=rho<=4costheta ;2pi-arccos(1/4)<= theta<=2pi] $
Cioè faccio la somma degli integrali calcolati sui due sottoinsiemi che hai detto tu , non so se è giusto però .
Esatto (ma il secondo intervallo di variazione di $\theta$ lo avevo scritto anche nel primo post).
ti ringrazio , l'ho svolto così e dovrebbe essere venuto .
Se avessi voluto considerare il dominio normale rispetto ad y
avrei dovuto porre y compreso fra R e -R ( con R , raggio della circonferenza grande ) ,Mentre x compreso fra le due forme esplicitate ( con segno positivo) delle due circonferenze? ( come esplicito la seconda circonferenza? calcolandomi le soluzioni dell'equazione di secondo grado ottenuta considerando la y come una costante ?)
In tal caso (ho provato) mi sarebbe venuto un integrale con delle radici e dei quadrati , roba abbastanza rognosa , che va risolta con le sostituzioni col seno e il coseno , e l'uso delle eq parametriche ...quindi mi pare sconveniente .
Mentre rispetto ad x? proprio non ho idea .
Se avessi voluto considerare il dominio normale rispetto ad y
avrei dovuto porre y compreso fra R e -R ( con R , raggio della circonferenza grande ) ,Mentre x compreso fra le due forme esplicitate ( con segno positivo) delle due circonferenze? ( come esplicito la seconda circonferenza? calcolandomi le soluzioni dell'equazione di secondo grado ottenuta considerando la y come una costante ?)
In tal caso (ho provato) mi sarebbe venuto un integrale con delle radici e dei quadrati , roba abbastanza rognosa , che va risolta con le sostituzioni col seno e il coseno , e l'uso delle eq parametriche ...quindi mi pare sconveniente .
Mentre rispetto ad x? proprio non ho idea .
In forma cartesiana puoi scrivere:
$$2\left(\int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4x-x^2}}\ dy\ dx+\int_1^4\int_0^{\sqrt{4x-x^2}}\ dy\ dx\right)$$
(il 2 è dovuto alla simmetria del dominio rispetto all'asse delle ascisse).
$$2\left(\int_0^1\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4x-x^2}}\ dy\ dx+\int_1^4\int_0^{\sqrt{4x-x^2}}\ dy\ dx\right)$$
(il 2 è dovuto alla simmetria del dominio rispetto all'asse delle ascisse).
questo è normale rispetto ad x no? ho capito...
moltiplichi per due perché sennò considereresti solo la semicirconferenza positiva vero?
mi stai togliendo parecchi dubbi xD
moltiplichi per due perché sennò considereresti solo la semicirconferenza positiva vero?
mi stai togliendo parecchi dubbi xD
Bene, l'importante è che ti sia chiaro ciò che abbiamo fato fino ad ora. Per la normalità rispetto all'altro asse, io lascerei perdere, perché è una rottura di co...priletti infinita.
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