Dubbio integrale doppio coordinate polari
Ragazzi ho questo integrale doppio
$int int 1/(x^2+y^2+3)^2 dxdy$
Il dominio è costituito da una circonferenza di raggio 2
e dai punti con ordinata non positiva.
Quindi usando le coordinate polari mi trovo in questo modo
$\int_{0}^{2} rho delrho$ $\int_{pi}^{2pi} 1/(rho^2(cos^2theta+sin^2theta)+3)^2 deltheta$
il dubbio mi è sorto con quel quadrato..
dovrebbe essere $\int_{0}^{2} rho^5 delrho$ cacciando fuori dal secondo integrale $rho^4$?
Quindi nel secondo integrale mi rimarrebbe $int 1/9$
Fatemi sapere se è corretto
$int int 1/(x^2+y^2+3)^2 dxdy$
Il dominio è costituito da una circonferenza di raggio 2
e dai punti con ordinata non positiva.
Quindi usando le coordinate polari mi trovo in questo modo
$\int_{0}^{2} rho delrho$ $\int_{pi}^{2pi} 1/(rho^2(cos^2theta+sin^2theta)+3)^2 deltheta$
il dubbio mi è sorto con quel quadrato..
dovrebbe essere $\int_{0}^{2} rho^5 delrho$ cacciando fuori dal secondo integrale $rho^4$?
Quindi nel secondo integrale mi rimarrebbe $int 1/9$
Fatemi sapere se è corretto
Risposte
\(\displaystyle \int _\pi^{2\pi} \int_0^2 \frac{rdrd\theta}{(r^2(\cos ^2 \theta + \sin^2 \theta ) +3)^2} = \int _\pi^{2\pi} \int_0^2 \frac{rdrd\theta}{(r^2 +3)^2} = \pi \int_0^2 \frac{rdr}{(r^2 +3)^2} = \left [ \frac{\pi}{-2(r^2 +3)} \right ]^2_0 = \frac{\pi}{2} \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right ) =\frac{2\pi}{21} \)
"Oznerol.92":
\(\displaystyle \int _\pi^{2\pi} \int_0^2 \frac{rdrd\theta}{(r^2(\cos ^2 \theta + \sin^2 \theta ) +3)^2} = \int _\pi^{2\pi} \int_0^2 \frac{rdrd\theta}{(r^2 +3)^2} = \pi \int_0^2 \frac{rdr}{(r^2 +3)^2} = \left [ \frac{\pi}{-2(r^2 +3)} \right ]^2_0 = \frac{\pi}{2} \left ( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right ) =\frac{2\pi}{21} \)
non mi trovo!
Ciao
di solito vado sempre ad integrare tutta la funzione con gli estremi di theta, poi porto i rho nel primo integrale..
come ho fatto io pero non si poteva isolare rho avendo $int 1/(rho^2+3) rhodelrhodeltheta$ quindi se si puo fare come hai fatto tu fin qui mi trovo.. (diciamo che è la prima volta che mi trovo cosi, gli altri li risolvevo tutti allo stesso modo)
comunque andandolo a rifare
$\int_{pi}^{2pi} deltheta $ $\int_{0}^{2} 1/(rho^2+3)^2 rho delrho$
ora devo svolgere prima $\int_{0}^{2} 1/(rho^2+3)^2 rho delrho$
e questo qui mi da $- 1/2 1/(x^2+3)$ da calcolarsi da 2 e 0.
quindi mi trovo $-1/14$
che integrato da $pi$ a $2pi$ mi darebbe -$1/14 pi$
quindi diciamo in base a come è piu comodo possiamo integrare giusto?
di solito vado sempre ad integrare tutta la funzione con gli estremi di theta, poi porto i rho nel primo integrale..
come ho fatto io pero non si poteva isolare rho avendo $int 1/(rho^2+3) rhodelrhodeltheta$ quindi se si puo fare come hai fatto tu fin qui mi trovo.. (diciamo che è la prima volta che mi trovo cosi, gli altri li risolvevo tutti allo stesso modo)
comunque andandolo a rifare
$\int_{pi}^{2pi} deltheta $ $\int_{0}^{2} 1/(rho^2+3)^2 rho delrho$
ora devo svolgere prima $\int_{0}^{2} 1/(rho^2+3)^2 rho delrho$
e questo qui mi da $- 1/2 1/(x^2+3)$ da calcolarsi da 2 e 0.
quindi mi trovo $-1/14$
che integrato da $pi$ a $2pi$ mi darebbe -$1/14 pi$
quindi diciamo in base a come è piu comodo possiamo integrare giusto?
È ininfluente se integri prima in una variabile o prima nell'altra (a meno di definire bene gli estremi di integrazione), l'ordine lo scegli tu. Il punto è che
\(\displaystyle \int_a^b \int_c^d f(x)g(y)dxdy = \left (\int_a^b f(x)dx \right ) \left (\int_c^d g(y)dy \right ) \)
Inoltre, hai dimenticato di sommare a \(\displaystyle -\frac{1}{14} \) il termine relativo a \(\displaystyle x=0 \).
Come fai ad avere che l'integrale di un qualcosa di positivo è negativo?
\(\displaystyle \int_a^b \int_c^d f(x)g(y)dxdy = \left (\int_a^b f(x)dx \right ) \left (\int_c^d g(y)dy \right ) \)
Inoltre, hai dimenticato di sommare a \(\displaystyle -\frac{1}{14} \) il termine relativo a \(\displaystyle x=0 \).
Come fai ad avere che l'integrale di un qualcosa di positivo è negativo?
Piccolo errore di distrazione grazie mille
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