Dubbio integrale doppio
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio:
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Calcolare l'area del dominio:
$D = {(x, y): 0 <= y <= x^2, x^2 + y^2 <= 2}$
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Sapete per caso dove posso trovare esercizi di questo tipo con soluzione???
Ho provato a controllare in internet o sul mio libro (marcellini-sbordone) ma non ho trovato niente...
Anche perchè non so proprio come risolvere queste tipologie di esercizio, non avendo neanche un esempio...
Forse devo calcolare l'area del dominio in questo modo?
$m(D) = \int_{a}^{b} [beta(x) - alpha(x)]dx$
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Calcolare l'area del dominio:
$D = {(x, y): 0 <= y <= x^2, x^2 + y^2 <= 2}$
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Sapete per caso dove posso trovare esercizi di questo tipo con soluzione???
Ho provato a controllare in internet o sul mio libro (marcellini-sbordone) ma non ho trovato niente...
Anche perchè non so proprio come risolvere queste tipologie di esercizio, non avendo neanche un esempio...
Forse devo calcolare l'area del dominio in questo modo?
$m(D) = \int_{a}^{b} [beta(x) - alpha(x)]dx$
Risposte
Ci sono due metodi per calcolare questo tipo di integrali: uno è quello di considerare le curve nel piano che delimitano il dominio e calcolare, come hai scritto, la superficie come differenza delle due superfici ottenute; l'altra è quella di utilizzare l'integrale doppio
[tex]$\iint_D dx\ dy$[/tex]
che per definizione rappresenta l'area. In realtà, alla fin fine, dovrai sempre e comunque calcolare quel primo integrale che hai scritto, dal momento che se il dominio è dato da [tex]$D={a\le x\le b,\ \alpha(x)\le y\le\beta(x)\}$[/tex], avrai
[tex]$\iint_D dx\ dy=\int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} dy\right)\ dx=\int_a^b[\beta(x)-\alpha(x)]\ dx$[/tex]
Per vedere esercizi risolti ti consiglio il testo di V.E.Bononcini: Esercizi di Analisi (vol.2) dell'editrice CEDAM.
[tex]$\iint_D dx\ dy$[/tex]
che per definizione rappresenta l'area. In realtà, alla fin fine, dovrai sempre e comunque calcolare quel primo integrale che hai scritto, dal momento che se il dominio è dato da [tex]$D={a\le x\le b,\ \alpha(x)\le y\le\beta(x)\}$[/tex], avrai
[tex]$\iint_D dx\ dy=\int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} dy\right)\ dx=\int_a^b[\beta(x)-\alpha(x)]\ dx$[/tex]
Per vedere esercizi risolti ti consiglio il testo di V.E.Bononcini: Esercizi di Analisi (vol.2) dell'editrice CEDAM.
Ok grazie per la risposta 
Non ho però la possibilità di comprarmi un altro libro...
Non esiste in rete almeno un esempio?
Ad esempio se considero il dominio che ho postato prima...
Conviene passare alle coordinare polari?
Altrimenti come potrei procedere?
Non ho però la possibilità di comprarmi un altro libro...
Non esiste in rete almeno un esempio?
Ad esempio se considero il dominio che ho postato prima...
Conviene passare alle coordinare polari?
Altrimenti come potrei procedere?
Ho provato a risolvere l'esercizio, ma ancora non riesco a capire come proseguire...
Sono passato alle coordinate polari e ottengo che:
$(sin theta) / (cos theta) <= rho <= 2$
Mentre non so come calcolare l'angolo theta. Ho trovato che la circonferenza e la parabola si intersecano nei punti (1, 1) e (-1, 1), ma non so come continuare...
Sono passato alle coordinate polari e ottengo che:
$(sin theta) / (cos theta) <= rho <= 2$
Mentre non so come calcolare l'angolo theta. Ho trovato che la circonferenza e la parabola si intersecano nei punti (1, 1) e (-1, 1), ma non so come continuare...
Per prima cosa, a causa della simmetria, basta che consideri l'area della parte di piano nel primo quadrante, visto che l'altra è uguale: alla fine basterà moltiplicare per due. Per calcolare questo integrale io eviterei le coordinate polari e userei questo fatto: puoi separare quella superficie in due parti, facendo passare una retta parallela all'asse delle $y$ per il punto di intersezione tra parabola e circonferenza: così facendo dovrai integrare la funzione $1$ sui due domini
[tex]$D_1={0\le x\le 1,\ 0\le y\le x^2\},\qquad D_2=\{1\le x\le 2,\ 0\le y\le\sqrt{2-x^2}\}$[/tex]
[tex]$D_1={0\le x\le 1,\ 0\le y\le x^2\},\qquad D_2=\{1\le x\le 2,\ 0\le y\le\sqrt{2-x^2}\}$[/tex]
Quindi graficamente dovrebbe essere in questo modo:
Il disegno è fatto male, ma rende l'idea...
Comunque non riesco a capire perchè D2 deve essere $0 < y < sqrt(2 - x^2)$
Il disegno è fatto male, ma rende l'idea...
Comunque non riesco a capire perchè D2 deve essere $0 < y < sqrt(2 - x^2)$
Perché $D_2$ rappresenta il pezzo che si trova sotto la circonferenza.
Ok adesso finalmente è chiaro!!!
Grazie mille!
Grazie mille!
Hmm un'ultimissima cosa ...
D2 non dovrebbe essere $1 <= x <= sqrt(2)$, dato che il raggio della circonferenza è $sqrt(2)$?
D2 non dovrebbe essere $1 <= x <= sqrt(2)$, dato che il raggio della circonferenza è $sqrt(2)$?
Sì, ho dimenticato la radice.
Ho ancora un'ultima (spero) domanda:
é possibile integrare la funzione 1 direttamente tra $-sqrt(2) <= x <= sqrt(2)$ e $0 <= y <= x^2$???
Questo procedimento mi è stato consigliato da un amico, ma a me sembra che in questo modo si considerano delle parti in più rispetto al dominio...
é possibile integrare la funzione 1 direttamente tra $-sqrt(2) <= x <= sqrt(2)$ e $0 <= y <= x^2$???
Questo procedimento mi è stato consigliato da un amico, ma a me sembra che in questo modo si considerano delle parti in più rispetto al dominio...
se integri così quello che calcoli è il dominio che si trova sotto la parabola tra [tex]$-\sqrt{2}$[/tex] e [tex]$\sqrt{2}$[/tex], per cui non è la stessa cosa.
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