Dubbio integrale doppio
Ciao ragazzi, scusate le mie domande continue ma abbiate pazienza, magari giovedì passo l'esame 
vorrei chiedervi una mano per questo esercizio...
$intint_T xe^y dx dy$ con $T={(x,y): 0<=x<=1, 0<=y<=2}$.
In pratica si tratta di un dominio dentro un triangolo rettangolo:
Io penso: facile! Parto tenendo ferma la $x$ e integro su $y$, poi integro su $x$ (per sommare tutte le "fettine verticali").
$int_0^1(int_0^(2x)xe^ydy)dx = int_0^1x(int_0^(2x)e^ydy)dx = int_0^1 x([e^y]_0^(2x))dx = int_0^1 x([e^(2x)-e^0])dx = int_0^1 x(e^(2x)-1)dx= int_0^1 xe^(2x)-xdx= int_0^1 xe^(2x) dx -int_0^1 x dx$.
Temo di aver fatto un errore nel calcolo di questo integrale $int_0^1 xe^(2x) dx$, perchè c'è un punto dove sono indeciso:
$int_0^1 xe^(2x) dx$, lo faccio per parti, dove $F=x$ e $g=e^(2x)$. Il dubbio viene ora: deve essere così $int_0^1 xe^(2x) dx = x*1/2e^(2x)- int_0^1 1/2e^(2x)dx = x*1/2e^(2x)- [ e^(2x)]_0^1 = x*1/2e^(2x)-(e^2-e^0) = x*1/2e^(2x)-e^2+1$
?
Ora integro il secondo pezzo: $int_0^1 x dx = [1/2x^2]_0^1 = 1/2-0$
Ora unisco i due pezzi e ottengo: $x*1/2e^(2x)-e^2+1 +1/2$
Il fatto che io abbia degli $x$ nella soluzione mi fa pensare di aver sbagliato da qualche parte. Forse avrei dovuto fare $int_0^1 xe^(2x) dx = [x*1/2e^(2x)- int_0^1 1/2e^(2x)dx]_0^1$ ??
vorrei chiedervi una mano per questo esercizio...
$intint_T xe^y dx dy$ con $T={(x,y): 0<=x<=1, 0<=y<=2}$.
In pratica si tratta di un dominio dentro un triangolo rettangolo:
Io penso: facile! Parto tenendo ferma la $x$ e integro su $y$, poi integro su $x$ (per sommare tutte le "fettine verticali").
$int_0^1(int_0^(2x)xe^ydy)dx = int_0^1x(int_0^(2x)e^ydy)dx = int_0^1 x([e^y]_0^(2x))dx = int_0^1 x([e^(2x)-e^0])dx = int_0^1 x(e^(2x)-1)dx= int_0^1 xe^(2x)-xdx= int_0^1 xe^(2x) dx -int_0^1 x dx$.
Temo di aver fatto un errore nel calcolo di questo integrale $int_0^1 xe^(2x) dx$, perchè c'è un punto dove sono indeciso:
$int_0^1 xe^(2x) dx$, lo faccio per parti, dove $F=x$ e $g=e^(2x)$. Il dubbio viene ora: deve essere così $int_0^1 xe^(2x) dx = x*1/2e^(2x)- int_0^1 1/2e^(2x)dx = x*1/2e^(2x)- [ e^(2x)]_0^1 = x*1/2e^(2x)-(e^2-e^0) = x*1/2e^(2x)-e^2+1$
?
Ora integro il secondo pezzo: $int_0^1 x dx = [1/2x^2]_0^1 = 1/2-0$
Ora unisco i due pezzi e ottengo: $x*1/2e^(2x)-e^2+1 +1/2$
Il fatto che io abbia degli $x$ nella soluzione mi fa pensare di aver sbagliato da qualche parte. Forse avrei dovuto fare $int_0^1 xe^(2x) dx = [x*1/2e^(2x)- int_0^1 1/2e^(2x)dx]_0^1$ ??
Risposte
Ciao,
Premetto che potrò scrivere boiate, però mi sembra che l'integrale sia da fare così....:
$int_(0)^(1) ( int_(0)^(2) xe^y dy)dx$
Che è facile da risolvere, si ottiene infatti:
$1/2 e^2 -1/2= 1/2(e^2-1)$
Spero di non averla detta grossa
Premetto che potrò scrivere boiate, però mi sembra che l'integrale sia da fare così....:
$int_(0)^(1) ( int_(0)^(2) xe^y dy)dx$
Che è facile da risolvere, si ottiene infatti:
$1/2 e^2 -1/2= 1/2(e^2-1)$
Spero di non averla detta grossa
Ciao,
se fosse come dici tua allora andrei a calcolare l'integrale che ha un dominio che è un rettangolo, invece di un triangolo, o sbaglio ?
ti dico che il risultato dovrebbe essere $-1/4 +1/4e^2$
se fosse come dici tua allora andrei a calcolare l'integrale che ha un dominio che è un rettangolo, invece di un triangolo, o sbaglio ?
ti dico che il risultato dovrebbe essere $-1/4 +1/4e^2$
nono, ho sbagliato io sicuramente, è giusto come hai fatto tu prendendo il dominio come une triangolo... adeso guardo un attimo dove potrebbe essere l'errore..
Guarda che quando integri per parti devi applicare Torricelli:
$$\int_0^1 x e^{2x}\ dx=\left[x\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1-\int_0^1 \frac{e^2x}{2}\ dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{e^{2x}}{4}\right]_0^1=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}=\frac{e^2}{4}$$
Un minimo di criterio, quando applicate le regole e di "pensiero critico" non ci starebbe male, al di là dello svolgere gli esercizi meccanicamente.
$$\int_0^1 x e^{2x}\ dx=\left[x\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1-\int_0^1 \frac{e^2x}{2}\ dx=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{e^{2x}}{4}\right]_0^1=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}=\frac{e^2}{4}$$
Un minimo di criterio, quando applicate le regole e di "pensiero critico" non ci starebbe male, al di là dello svolgere gli esercizi meccanicamente.
Ok, credo di esserci riuscito..
Giusto fino alla prima parte:
$ int_0^1 xe^(2x) dx -int_0^1 x dx $
Ora integriamo per parti e viene:
$1/2 e^(2x)-1/2int e^(2x) dx$
E facendo una sostituzione $t=2x$ infine:
$1/2e^(2x)x-1/4e^(2x)$
Che calcolato tra 0 e d 1 è:
$1/4(1+e^2)$
Ora dall'altro integrale otteniamo: $-1/2$
E il risultato finale:
$1/4(1+e^2)-1/2 = -1/4+1/4e^2$
EDIT: Scusa Ciampax non avevo visto la tua risposta
Giusto fino alla prima parte:
$ int_0^1 xe^(2x) dx -int_0^1 x dx $
Ora integriamo per parti e viene:
$1/2 e^(2x)-1/2int e^(2x) dx$
E facendo una sostituzione $t=2x$ infine:
$1/2e^(2x)x-1/4e^(2x)$
Che calcolato tra 0 e d 1 è:
$1/4(1+e^2)$
Ora dall'altro integrale otteniamo: $-1/2$
E il risultato finale:
$1/4(1+e^2)-1/2 = -1/4+1/4e^2$
EDIT: Scusa Ciampax non avevo visto la tua risposta
Ora ho visto l'errore anche io! Grazie mille.
Non so cosa sia.
@grimx: grazie.
"ciampax":
Guarda che quando integri per parti devi applicare Torricelli
Non so cosa sia.
@grimx: grazie.
"BoG":
Ora ho visto l'errore anche io! Grazie mille.
[quote="ciampax"]Guarda che quando integri per parti devi applicare Torricelli
Non so cosa sia.
@grimx: grazie.[/quote]
A parte che è (era) una persona, Evangelista Torricelli ... (da non confondersi con Moreno Torricelli, giocatare della Juventus prelevato dalla Carratese nel 1994 ....!!) è il teorema fondamentale del calcolo integrale
"BoG":
Ora ho visto l'errore anche io! Grazie mille.
[quote="ciampax"]Guarda che quando integri per parti devi applicare Torricelli
Non so cosa sia.
@grimx: grazie.[/quote]
Saresti da prendere a ****tti fino a farti morire dissanguato, sai?
E' il teorema fondamentale del calcolo integrale, quello che in soldoni ti dice che se $f(x)$ ha come primitiva $F(x)$ allora $\int_a^b f(x)\ dx=F(b)-F(a)$. Lo si usa per "riscrivere la formula di integrazione per parti al modo seguente$$\int_a^b f(x)\ g'(x)\ dx=\left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)\ g(x)\ dx$$
.. ma a noi lo hanno presentato come teorema fondamentale del calcolo integrale, nessuno ha parlato di Torricelli.
Io lo conosco solo per il barometro
Invece di calcio non conosco alcun che'...
Si, mi sono accorto dell'errore che ho fatto nell'integrazione, solo rileggendo cio' che ho postato. Ogni tanto uno sguardo dal punto diverso torna comodo
Io lo conosco solo per il barometro
Invece di calcio non conosco alcun che'...
Si, mi sono accorto dell'errore che ho fatto nell'integrazione, solo rileggendo cio' che ho postato. Ogni tanto uno sguardo dal punto diverso torna comodo
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