Dubbio infinitesimi

[dRic]

Scusate è giusto che $d(f(x)*x) = f(x)*dx $ ?

[cooper1]

non mi sembra. che ne è stato del povero Leibnitz? direi piuttosto $df(x)*x + f*dx$

[dRic]

Lo so, ma non ci può essere un modo per cui salta fuori quello che ho scritto? Il punto è che stavo studiando fisica e negli appunti ad un certo punto ho trovato $d/dx(p/rho) = 0 $ e il prof poi lo scrive come $ int 1/rho dp = c $, dove c è una costante. Siccome $1/rho = f(p)$ magari quello che ho scritto sopra poteva avere senso. Anche se in effetti è sbagliato... Non so cosa pensare. Una altra cosa che mi er a venuto in mente è che $ d(f(x)*x) = f(x)dx$ SSE $df(x) = 0 $ Però non trovo valide motivazioni per cui $ df(x) = 0 $. Magari non è che ho sbagliato a integrare ?

[cooper1]

sinceramente non capisco il passaggio del tuo professore. facendo l'integrale (che comunque io avrei fatto rispetto ad x) io avrei scritto $p/(rho)=c$
che problema stai studiando che magari riesco a risolvere il tuo dubbio?

[dRic]

L'equazione di Bernoulli $ (v^2/2 + gh + p/(rho))_1 = (v^2/2 + gh + p/(rho))_2 $ applicata ai fluidi comprimibili quindi $rho$ (la densità) non è costante. Il prof ci ha consigliato divederla come:
$(v^2/2 + gh + p/(rho))_s = (v^2/2 + gh + p/(rho))_(s+ds)$
dunque sviluppando il secondo membro con taylor e semplificando esce:

$ d/(ds)(v^2/2 + gh + p/(rho))*ds = 0 -> d/(ds)(v^2/2 + gh + p/(rho)) = 0 $

a questo punto si ferma e scrive il risultato finale: $ v^2/2 + gh + int 1/(rho)*dp = c $

La formula finale è giusta perché sul libro è identica solo che la dimostrazione è diversa. Qui non riesco a capire i passaggi che ha fatto alla fine...

[cooper1]

purtroppo non ti so aiutare. su una dispensa ho trovato che dato il trinomio di Bernoulli $B=v^2 /2 +gh+p/rho$ vedi l'energia potenziale delle pressioni come $P=int 1/(rho(p))dp$ cioè la primitiva di $1/rho$
purtroppo non so far altro.

[dRic]

grazie lo stesso questa cosa non torni anche ad altri miei compagni di corso...

[CaMpIoN]

Credo abbia fatto questo
\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{p}{\rho}\right)=0 \)
\(\displaystyle \frac{1}{\rho}dp=0dx \)
Applichi l'integrazione ad entrambi i membri
\(\displaystyle \int \frac{1}{\rho}dp=\int 0dx \)
Semplicemente a secondo membro devi trovare una primitiva di 0, l'unica primitiva è un valore costante $c$, infatti derivando $c$ rispetto ad $x$ ottieni proprio 0, quindi
\(\displaystyle \int \frac{1}{\rho}dp=c \)

[cooper1]

il fatto che ci sia $c$ a me era chiaro ed anche all'autore del post credo. ma perchè quando applichi l'integrale a primo membro la p diventa un differenziale? e perchè $int d/dx p/rho=! p/rho$?

[CaMpIoN]

Ragionando sul fatto che $\rho$ dipende da $p$ allora presa tutta l'espressione si ha
\(\displaystyle \frac{d}{ds}\left(\frac{v^2}{2}+gh+\frac{p}{\rho}\right)=0 \)
Con $\rho$ costante rispetto a $s$, quindi
\(\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{ds}\left(v^2\right)+g\frac{d}{ds}h+\frac{1}{\rho}\frac{d}{ds}p=0 \)
\(\displaystyle \frac{1}{2}d(v^2)+gdh+\frac{1}{\rho}dp=0ds \)
Integrando tutti dovrebbe essere
\(\displaystyle \frac{v^2}{2}+gh+\int \frac{1}{\rho}dp=c \)
Dovrebbe essere così, è l'unica spiegazione che mi viene.

[cooper1]

ahhhh mi sa proprio che hai ragione!

[dRic]

Fin qui ci sono anche io, Mm come è possibile che $rho$ sia costante con $s$ se $rho$ dipende da $p$ che a sua volta varia lungo $s$?

[cooper1]

eh in effetti non hai tutti i torti. in alternativa scrivere al professore non è possibile?

[dRic]

Tra lui e gli assistenti non rispondo spesso alle mail... va beh studierò una dimostrazione alternativa