Dubbio forme differenziali
Anzitutto buongiorno a tutti.
Sono nuovo, anche se seguo il forum da tempo. Ho deciso di fare questo post perchè mi porto dietro questo dubbio da troppo tempo e cercando sia su internet, sia sul forum non sono riuscito a trovare nulla di soddisfacente.
Cercherò di essere il più chiaro possibile.
Cercando sui vari siti informazioni riguardo le forme differenziali (argomento neanche trattato nei corsi di analisi da me seguiti)
ho sempre trovato il medesimo approccio. In pratica si definisce la generica forma: $\omega = A dx + B dy + C dz$ e il relativo integrale sulla linea $\gamma$. Si passa poi a definire l'esattezza ed altre proprietà e a studiare le varie metodologie utili proprio alla determinazione di esattezza, chiusura, ecc.
Fin qui tutto bene, nulla di particolarmente ostico. Il mio problema nasce quando, nei corsi di termodinamica ad esempio, si fa un grande uso di tali forme differenziali e le si manipola. Esempio: supponiamo di avere un differenziale esatto (in termodinamica si ha spesso a che fare con funzioni di stato) $df=Adx+Bdy+Cdz$ e di integrarlo tra due stati $(x_1,y_1,z_1)$ e $(x_2,y_2,z_2)$. Tutto molto semplice, nel senso che basta scegliere un percorso arbitrario (non dipendendo l'integrale dal cammino) ovvero calcolare i vari integrali $\Delta f = \int_(x_1)^(x_2) Adx+\int_(y_1)^(y_2) Bdy+\int_(z_1)^(z_2)Cdz$.
Ora invece supponiamo di voler calcolare la variazione di x in funzione delle altre coordinate (e cioè di considerare f variabile indipendente e x variabile dipendente; ciò accade spesso in termodinamica quando si vuole determinare una variabile di stato in funzione delle altre due).
Applicando banalmente i principi di equivalenza si ottiene $dx = frac{1}{A}df - frac{B}{A}dy - frac{C}{A}dz$ e integrando tra $(f_1,y_1,z_1)$ e $(f_2,y_2,z_2)$ otteniamo: $\Delta x = \int_(f_1)^(f_2)frac{1}{A}df - \int_(y_1)^(y_2)frac{B}{A}dy - \int_(z_1)^(z_2)frac{C}{A}dz$. La domanda è la seguente: come faccio ad essere certo che il risultato che trovo ($\Delta x$) procedendo in questo modo sia il medesimo che troverei ricavandomi la x in funzione di (f,y,z) direttamente dall'equazione integrale $\Delta f = \int_(x_1)^(x_2) Adx+\int_(y_1)^(y_2) Bdy+\int_(z_1)^(z_2)Cdz$. Spero di essermi spiegato, ma nel dubbio provo a ripetere con parole lievemente diverse: c'è un modo di dimostrare che manipolare i differenziali e quindi integrarli mi fornisce lo stesso risultato che otterrei integrando la forma di partenza $df=Adx+Bdy+Cdz$ e quindi ricavandomi la variabile di interesse?
L'equivalenza tra i due modi di procedere l'ho sempre data per scontata, così come hanno fatto i miei professori, però questo dubbio lo ho sempre avuto e mai risolto, forse anche perchè nei corsi di Analisi le forme lineari non sono state trattate e ho dovuto fare da autodidatta.
Grazie mille a chiunque si prenda la briga di leggere questo papiro.
Sono nuovo, anche se seguo il forum da tempo. Ho deciso di fare questo post perchè mi porto dietro questo dubbio da troppo tempo e cercando sia su internet, sia sul forum non sono riuscito a trovare nulla di soddisfacente.
Cercherò di essere il più chiaro possibile.
Cercando sui vari siti informazioni riguardo le forme differenziali (argomento neanche trattato nei corsi di analisi da me seguiti)
ho sempre trovato il medesimo approccio. In pratica si definisce la generica forma: $\omega = A dx + B dy + C dz$ e il relativo integrale sulla linea $\gamma$. Si passa poi a definire l'esattezza ed altre proprietà e a studiare le varie metodologie utili proprio alla determinazione di esattezza, chiusura, ecc.
Fin qui tutto bene, nulla di particolarmente ostico. Il mio problema nasce quando, nei corsi di termodinamica ad esempio, si fa un grande uso di tali forme differenziali e le si manipola. Esempio: supponiamo di avere un differenziale esatto (in termodinamica si ha spesso a che fare con funzioni di stato) $df=Adx+Bdy+Cdz$ e di integrarlo tra due stati $(x_1,y_1,z_1)$ e $(x_2,y_2,z_2)$. Tutto molto semplice, nel senso che basta scegliere un percorso arbitrario (non dipendendo l'integrale dal cammino) ovvero calcolare i vari integrali $\Delta f = \int_(x_1)^(x_2) Adx+\int_(y_1)^(y_2) Bdy+\int_(z_1)^(z_2)Cdz$.
Ora invece supponiamo di voler calcolare la variazione di x in funzione delle altre coordinate (e cioè di considerare f variabile indipendente e x variabile dipendente; ciò accade spesso in termodinamica quando si vuole determinare una variabile di stato in funzione delle altre due).
Applicando banalmente i principi di equivalenza si ottiene $dx = frac{1}{A}df - frac{B}{A}dy - frac{C}{A}dz$ e integrando tra $(f_1,y_1,z_1)$ e $(f_2,y_2,z_2)$ otteniamo: $\Delta x = \int_(f_1)^(f_2)frac{1}{A}df - \int_(y_1)^(y_2)frac{B}{A}dy - \int_(z_1)^(z_2)frac{C}{A}dz$. La domanda è la seguente: come faccio ad essere certo che il risultato che trovo ($\Delta x$) procedendo in questo modo sia il medesimo che troverei ricavandomi la x in funzione di (f,y,z) direttamente dall'equazione integrale $\Delta f = \int_(x_1)^(x_2) Adx+\int_(y_1)^(y_2) Bdy+\int_(z_1)^(z_2)Cdz$. Spero di essermi spiegato, ma nel dubbio provo a ripetere con parole lievemente diverse: c'è un modo di dimostrare che manipolare i differenziali e quindi integrarli mi fornisce lo stesso risultato che otterrei integrando la forma di partenza $df=Adx+Bdy+Cdz$ e quindi ricavandomi la variabile di interesse?
L'equivalenza tra i due modi di procedere l'ho sempre data per scontata, così come hanno fatto i miei professori, però questo dubbio lo ho sempre avuto e mai risolto, forse anche perchè nei corsi di Analisi le forme lineari non sono state trattate e ho dovuto fare da autodidatta.
Grazie mille a chiunque si prenda la briga di leggere questo papiro.
Risposte
up
È una buona domanda, e io francamente in Termodinamica non ho mai capito i giochi con i differenziali. Mi pare però che sia tutta questione di unicità della soluzione dei problemi di Cauchy. Se tu risolvessi l'equazione integrale, quello che otterresti sarebbe una soluzione dell'equazione differenziale (ottenuta dividendo per \(A\)). E questa equazione deve soddisfare un teorema di unicità della soluzione, altrimenti il modello fisico non sarebbe ben posto.
Grazie dissonance della risposta.
Se ho capito quello che mi stai dicendo quindi, quando integro una forma differenziale, in pratica sto risolvendo un'equazione differenziale siffatta:
$frac{df}{dt}=Afrac{dx}{dt}+Bfrac{dy}{dt}+Cfrac{dz}{dt}$
dove $A,B,C$ sono funzione di $x,y,z$ e dove ho parametrizzato la curva lungo cui integro attraverso il parametro $t$.
Di fatto si tratta quindi di risolvere un'equazione del primo ordine e per il teorema di unicità della soluzione la soluzione (in questo caso $x(t)$ sarà unica (nota la condizione iniziale).
Mi basta quindi conoscere la curva lungo cui mi sto muovendo, ovvero le funzioni $f(t),y(t),z(t)$ e integrare l'equazione da $t_1$ (condizione iniziale) a $t$. Posso prima integrare ambo i membri e poi ricavare la $x$, oppure prima operare attraverso i principi di equivalenza e quindi integrare, tanto il teorema di unicità mi assicura che la soluzione che troverò sarà sempre la medesima.
Posta in questi termini la questione appare (almeno a mio parere) molto più semplice e intuitiva. Sarà che ho poca familiarità con le forme differenziali.
Ma a questo punto mi chiedo a cosa serve introdurre le forme differenziali se questo tipo di problemi possono benissimo essere trattati mediante delle semplici equazioni del primo ordine. Ovvio che questa mia affermazione è una provocazione. Immagino che le forme abbiano una particolare utilità in qualche campo della matematica, ma finora io non sono riuscito a coglierla.
Almeno in questo caso (termodinamica) mi pare che utilizzare le forme differenziali per trattare la questione sia un complicarsi la vita. Voi riuscite ad illuminarmi riguardo ciò? Pareri? Delucidazioni?
Se ho capito quello che mi stai dicendo quindi, quando integro una forma differenziale, in pratica sto risolvendo un'equazione differenziale siffatta:
$frac{df}{dt}=Afrac{dx}{dt}+Bfrac{dy}{dt}+Cfrac{dz}{dt}$
dove $A,B,C$ sono funzione di $x,y,z$ e dove ho parametrizzato la curva lungo cui integro attraverso il parametro $t$.
Di fatto si tratta quindi di risolvere un'equazione del primo ordine e per il teorema di unicità della soluzione la soluzione (in questo caso $x(t)$ sarà unica (nota la condizione iniziale).
Mi basta quindi conoscere la curva lungo cui mi sto muovendo, ovvero le funzioni $f(t),y(t),z(t)$ e integrare l'equazione da $t_1$ (condizione iniziale) a $t$. Posso prima integrare ambo i membri e poi ricavare la $x$, oppure prima operare attraverso i principi di equivalenza e quindi integrare, tanto il teorema di unicità mi assicura che la soluzione che troverò sarà sempre la medesima.
Posta in questi termini la questione appare (almeno a mio parere) molto più semplice e intuitiva. Sarà che ho poca familiarità con le forme differenziali.
Ma a questo punto mi chiedo a cosa serve introdurre le forme differenziali se questo tipo di problemi possono benissimo essere trattati mediante delle semplici equazioni del primo ordine. Ovvio che questa mia affermazione è una provocazione. Immagino che le forme abbiano una particolare utilità in qualche campo della matematica, ma finora io non sono riuscito a coglierla.
Almeno in questo caso (termodinamica) mi pare che utilizzare le forme differenziali per trattare la questione sia un complicarsi la vita. Voi riuscite ad illuminarmi riguardo ciò? Pareri? Delucidazioni?
Uhuhuh in che guaio ti stai mettendo! 
Non è una domanda ben posta, è soggettiva ed aperta alla polemica. Io ti rispondo con questo link:
https://www.amazon.it/Termodinamica-Enr ... 8833951820
Questo signore ha scritto un libro di termodinamica pieno zeppo di differenziali, e se lui pensa che siano importanti, significa che sono importanti, punto. Vuoi una risposta più seria? Leggi un po' questa discussione, partendo dal commento linkato.
Non è una domanda ben posta, è soggettiva ed aperta alla polemica. Io ti rispondo con questo link:
https://www.amazon.it/Termodinamica-Enr ... 8833951820
Questo signore ha scritto un libro di termodinamica pieno zeppo di differenziali, e se lui pensa che siano importanti, significa che sono importanti, punto. Vuoi una risposta più seria? Leggi un po' questa discussione, partendo dal commento linkato.
Eh sì, ho il libro di Fermi e i differenziali ci sono eccome. La questione è che i differenziali sono molto intuitivi se li vedi come incrementi "infinitesimi" e ti limiti a integrarli e a lavorarci sopra senza farti molte domande, cosa che a ingegnerie si fa senza troppi problemi. Sono io forse che mi faccio troppe domande 
.Per quanto riguarda il link mi rendo conto che certe cose purtroppo a ingegneria non le approfondirò mai e mi dispiace. Forse ho un corso di complementi di algebra l'anno prossimo, credo lo seguirò.
Ad ogni modo l'interpretazione che ho dato della tua risposta è giusta, me lo confermi?
Mi piacerebbe sentire anche il parere di qualche altro esperto in materia.
E comunque grazie mille dissonance!
L'interpretazione è giusta. E anche l'interpretazione dei differenziali è quella. Se ti poni troppe domande diventano inutili, perché come diceva giustamente Yang nel link di cui sopra, i differenziali vanno usati se semplificano la vita. Se invece la complicano, non vanno usati. Sono uno strumento.
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