Dubbio flessi funzione!
Salve ragazzi, tra qualche giorno dovrei dare l'esame di analisi, sto facendo degli esercizi e mi sono trovato alle prese con questa funzione $ (1+senx)/sqrt(cosx)$, che studio nell'intervallo $ (-pi/2;pi/2)$ sono andato avanti fino alla studio della derivata seconda e qui mi sorge il dubbio, allora la derivata seconda è : $ (-sen^3x+2sen^2x+4senx+1)/(4*cosxsqrt(cos^3x))$, ho scomposto il numeratore con ruffini e ottengo (dopo aver posto $senx=t$ ) : $(-t^2+3t+1)*(t+1)$, studiando il segno di queste funzioni ottengo che $t+1$ è sempre verificata infatti $senx > -1$ mentre la disequazione $(-t^2+3t+1)$ è verificata per $(3-sqrt(13))/2
Risposte
Secondo me hai sbagliato a calcolare la derivata seconda. A me viene
$f'(x)=(2+\sin(x)-\sin(x)^2)/(2 \cdot \cos(x)^(3/2))$
e
$f''(x)=(\sin(x)^3+\sin(x)^2+2\cdot \sin(x)+2)/(4 \cdot \cos(x)^(5/2))$
Se sostituisci $\sin(x)=t$, devi risolvere
$t^3+t^2+2t+2>=0$
$t^2\cdot(t+1)+2 \cdot(t+1)>=0$
$(t^2+2)\cdot(t+1)>=0$
$t>=-1$
$\sin(x)>=-1$
Dal momento che $-1<=\sin(x)<=1$, la disuguaglianza è sempre verificata. Per il denominatore della derivata seconda
$4 \cdot \cos(x)^(5/2)>0$
$\cos(x)>0$
che ha soluzione
$-(\pi)/2+2k \pi < x< \pi/2+2k \pi $
con $k \in ZZ$. Tuttavia, tale disuguaglianza è proprio il dominio della funzione. Quindi questa risulta essere sempre convessa nel suo dominio e quindi non ha flessi.
Nota che l'unico punto in cui la derivata seconda si annullerebbe è dato da
$\sin(x)=-1$
$x= -\pi/2+2k \pi $
Il quale però non fa parte del dominio della funzione (è pertanto una solunzione non accettabile).
$f'(x)=(2+\sin(x)-\sin(x)^2)/(2 \cdot \cos(x)^(3/2))$
e
$f''(x)=(\sin(x)^3+\sin(x)^2+2\cdot \sin(x)+2)/(4 \cdot \cos(x)^(5/2))$
Se sostituisci $\sin(x)=t$, devi risolvere
$t^3+t^2+2t+2>=0$
$t^2\cdot(t+1)+2 \cdot(t+1)>=0$
$(t^2+2)\cdot(t+1)>=0$
$t>=-1$
$\sin(x)>=-1$
Dal momento che $-1<=\sin(x)<=1$, la disuguaglianza è sempre verificata. Per il denominatore della derivata seconda
$4 \cdot \cos(x)^(5/2)>0$
$\cos(x)>0$
che ha soluzione
$-(\pi)/2+2k \pi < x< \pi/2+2k \pi $
con $k \in ZZ$. Tuttavia, tale disuguaglianza è proprio il dominio della funzione. Quindi questa risulta essere sempre convessa nel suo dominio e quindi non ha flessi.
Nota che l'unico punto in cui la derivata seconda si annullerebbe è dato da
$\sin(x)=-1$
$x= -\pi/2+2k \pi $
Il quale però non fa parte del dominio della funzione (è pertanto una solunzione non accettabile).
Tanto per darti un idea, la funzione è (periodica ed è) fatta così
ciao fede.unive! grazie per la risposta, hai pienamente ragione , stavo per riportarti i passaggi della derivata seconda e mi sono accorto che facendo il mcm al numeratore avevo dimenticato di moltiplicare il primo fattore per due -.- che stupido, purtroppo la tensione gioca brutti scherzi!! grazie mille ancora sei stato gentilissimo!
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