Dubbio esistenza limite
Ho da calcolare il seguente limite:
$lim_(x->+oo)(1+sin(x)/2)^x$
Il mio ragionamento è il seguente:
(1) $1/2 <= (1+sin(x)/2) <= 3/2$
(2) se $a>0$, $lim_(x->+oo) a^x = { ( +oo if a>1),( 1 if a=1),( 0 if a<1):}$
(3) Se chiamo $a = (1+sin(x)/2)$, dato che $a$ non è definitivamente $> 1$, né definitivamente compreso tra $0$ e $1$, concludo che il limite $lim_(x->+oo)a^x$ non esiste.
E' corretto come ragionamento?
Se avessi avuto $(3+sin(x))^x$, il limite per $x->+oo$ sarebbe stato uguale a $+oo$?
E se avessi avuto $(1/2+sin(x)/4)^x$, il limite per $x->+oo$ sarebbe stato uguale a $0$?
$lim_(x->+oo)(1+sin(x)/2)^x$
Il mio ragionamento è il seguente:
(1) $1/2 <= (1+sin(x)/2) <= 3/2$
(2) se $a>0$, $lim_(x->+oo) a^x = { ( +oo if a>1),( 1 if a=1),( 0 if a<1):}$
(3) Se chiamo $a = (1+sin(x)/2)$, dato che $a$ non è definitivamente $> 1$, né definitivamente compreso tra $0$ e $1$, concludo che il limite $lim_(x->+oo)a^x$ non esiste.
E' corretto come ragionamento?
Se avessi avuto $(3+sin(x))^x$, il limite per $x->+oo$ sarebbe stato uguale a $+oo$?
E se avessi avuto $(1/2+sin(x)/4)^x$, il limite per $x->+oo$ sarebbe stato uguale a $0$?
Risposte
Per formalizzare correttamente il ragionamento ti conviene esibire due successioni $(x_k)$, $(y_k)$, divergenti a $+\infty$, tali che
$1+\frac{\sin(x_k)}{2} = \frac{1}{2}$ e $1+\frac{\sin(y_k)}{2} = \frac{3}{2}$ per ogni $k$.
A questo punto, detta $f(x)$ la funzione nel limite, hai $\lim_k f(x_k) = 0$ e $\lim_k f(y_k) = +\infty$, dunque il limite non esiste.
Per le altre due domande la risposta è affermativa in entrambi i casi.
$1+\frac{\sin(x_k)}{2} = \frac{1}{2}$ e $1+\frac{\sin(y_k)}{2} = \frac{3}{2}$ per ogni $k$.
A questo punto, detta $f(x)$ la funzione nel limite, hai $\lim_k f(x_k) = 0$ e $\lim_k f(y_k) = +\infty$, dunque il limite non esiste.
Per le altre due domande la risposta è affermativa in entrambi i casi.
"Rigel":
Per formalizzare correttamente il ragionamento ti conviene esibire due successioni $(x_k)$, $(y_k)$, divergenti a $+\infty$, tali che
$1+\frac{\sin(x_k)}{2} = \frac{1}{2}$ e $1+\frac{\sin(y_k)}{2} = \frac{3}{2}$ per ogni $k$.
A questo punto, detta $f(x)$ la funzione nel limite, hai $\lim_k f(x_k) = 0$ e $\lim_k f(y_k) = +\infty$, dunque il limite non esiste.
Per le altre due domande la risposta è affermativa in entrambi i casi.
Mmm.. sagace!
Beh non vorrei sembrare banale ma... si possono scegliere due successioni costanti? In tal caso sarebbe facilissimo... dico che $x_k = - \pi/2$ e $y_k = \pi/2$ e sono a cavallo, no?
Beh, non divergono a $+\infty$...
Bisogna impegnarsi un pochino di più (poco però).
Bisogna impegnarsi un pochino di più (poco però).
"Rigel":
Beh, non divergono a $+\infty$...
Bisogna impegnarsi un pochino di più (poco però).
Ah giusto...! Sorry.
Ci penso subito...
EDIT:
Beh, che scemo! Basta aggiungere $2k\pi$ ad entrambe!!
Grazie mille Rigel
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