Dubbio esercizio serie di funzioni
Ho la seguente serie di funzioni:
$\sum_{n = 1}^{\infty} ((n^2 + 1)^3 2^n)/3^(n+2) (x + 6)^n$
Ho posto $x + 6 = y$ e $((n^2 + 1)^3 2^n)/3^(n+2) = a_n$ in modo da avere una serie di potenze.
So che una serie di potenze converge se e solo se $|y| < R$, in cui $R$ è il raggio di convergenza. Lo calcolo in questo modo:
$1/R = lim_{n \to \infty} root(n)(a_n) = lim_{n \to \infty} root(n)(((n^2 + 1)^3 2^n)/3^(n+2)) = 2/3$
$R = 3/2$
Questo significa che $|x + 6| < 3/2$, cioè $-15/2 < x < -9/2$. Questo significa che la serie converge puntualmente in $[-15/2, -9/2]$? E' corretto?
$\sum_{n = 1}^{\infty} ((n^2 + 1)^3 2^n)/3^(n+2) (x + 6)^n$
Ho posto $x + 6 = y$ e $((n^2 + 1)^3 2^n)/3^(n+2) = a_n$ in modo da avere una serie di potenze.
So che una serie di potenze converge se e solo se $|y| < R$, in cui $R$ è il raggio di convergenza. Lo calcolo in questo modo:
$1/R = lim_{n \to \infty} root(n)(a_n) = lim_{n \to \infty} root(n)(((n^2 + 1)^3 2^n)/3^(n+2)) = 2/3$
$R = 3/2$
Questo significa che $|x + 6| < 3/2$, cioè $-15/2 < x < -9/2$. Questo significa che la serie converge puntualmente in $[-15/2, -9/2]$? E' corretto?
Risposte
Non é detto che converga nell'intervallo chiuso,sostituisci gli estremi dell'insieme e studia la serie numerica associata,se conveerge in entrambi gli estremi hai un intervallo chiuso come quello che hai scritto tu,se non converge in nessuno dei due hai un intervallo aperto,altrimenti se converge solo la serie numerica studiata in uno dei due estremi hai un intervallo semi-chiuso
Cioè devo porre $x = -15/2$ e vedere se la serie converge?
Ho usato il criterio di Cauchy e ho trovato che per entrambi i punti diverge. Questo significa che la serie converge in $(-15/2, -9/2)$, giusto?
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