Dubbio esercizio serie
Buongiorno, sto cercando di risolvere questo esercizio ma credo di commettere qualche errore banale che sicuramente mi sfugge.
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$ converge assolutamente solo se $x\geq 0$
b) $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}$ converge assolutamente $\forall x \in[-1,1]$
c) $\sum_{n=0}^{+\infty}n!x^n$ converge $\forall x \in (-1,1)$
d) $\sum_{n=0}^{+\infty}x^n$ converge asslutamente $\forall x \in[-1,1]$
Ora io ho escluso la d) perchè è la serie esponenziale e non converge se $x=1$ o $x=-1$; la a) converge anche per x negativi (ho usato il criterio del rapporto); la c) diverge (ancora col criterio del rapporto); per la b) diverge se $x>1$ e converge se $x<1$ (ho usato il criterio della radice).
Potreste per favore indicarmi dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$ converge assolutamente solo se $x\geq 0$
b) $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}$ converge assolutamente $\forall x \in[-1,1]$
c) $\sum_{n=0}^{+\infty}n!x^n$ converge $\forall x \in (-1,1)$
d) $\sum_{n=0}^{+\infty}x^n$ converge asslutamente $\forall x \in[-1,1]$
Ora io ho escluso la d) perchè è la serie esponenziale e non converge se $x=1$ o $x=-1$; la a) converge anche per x negativi (ho usato il criterio del rapporto); la c) diverge (ancora col criterio del rapporto); per la b) diverge se $x>1$ e converge se $x<1$ (ho usato il criterio della radice).
Potreste per favore indicarmi dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao irizar,
Casomai è la serie geometrica, che notoriamente converge se $|x| < 1 $
Invece la serie di cui al punto a) è la serie esponenziale:
$ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{x^n}{n!} $
La serie assoluta è $ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{|x|^n}{n!} $, applicando il criterio del rapporto alla quale si ha:
$ lim_{n \to + infty} |frac{a_{n + 1}}{a_n}| = lim_{n \to + infty} frac{frac{|x|^{n + 1}}{(n + 1)!}}{frac{|x|^n}{n!}} = |x|lim_{n \to + infty} frac{1}{n + 1} = 0 \qquad \AA x \in \RR $
il che corrisponde al fatto che $ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{x^n}{n!} = e^x \qquad \AA x \in \RR $: dunque la a) è falsa.
Come hai scritto poi la serie di cui al punto c) diverge, quindi per esclusione la risposta corretta è la b). Però tu prova a dimostrare che è quella corretta col criterio del rapporto...
"irizar":
Ora io ho escluso la d) perchè è la serie esponenziale
Casomai è la serie geometrica, che notoriamente converge se $|x| < 1 $
Invece la serie di cui al punto a) è la serie esponenziale:
$ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{x^n}{n!} $
La serie assoluta è $ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{|x|^n}{n!} $, applicando il criterio del rapporto alla quale si ha:
$ lim_{n \to + infty} |frac{a_{n + 1}}{a_n}| = lim_{n \to + infty} frac{frac{|x|^{n + 1}}{(n + 1)!}}{frac{|x|^n}{n!}} = |x|lim_{n \to + infty} frac{1}{n + 1} = 0 \qquad \AA x \in \RR $
il che corrisponde al fatto che $ sum_{n = 0}^{+\infty} frac{x^n}{n!} = e^x \qquad \AA x \in \RR $: dunque la a) è falsa.
Come hai scritto poi la serie di cui al punto c) diverge, quindi per esclusione la risposta corretta è la b). Però tu prova a dimostrare che è quella corretta col criterio del rapporto...
Grazie mille! Tutto chiarissimo ed effettivamente ho fatto anche confusione coi nomi. Ho applicato il criterio del rapporto alla serie b) e alla fine arrivo a dover valutare $|x|\cdot 1$ (se non sbaglio i conti). Qui la serie converge assolutamente per il criterio del rapporto se $x\in (-1,1)$ ma se considero $x=1$ o $x=-1$ il criterio del rapporto non mi dice nulla. Quindi per questi valori particolari uso il confronto ad esempio con $1/n^2$ oppure lo vedo in altro modo?
Grazie ancora
Grazie ancora
"irizar":
Grazie mille!
Prego!
"irizar":
ma se considero $x=1$ o $x=−1$ il criterio del rapporto non mi dice nulla.
Vero, ma se consideri $x = 1 $ o $x = - 1 $ la serie assoluta diventa la serie armonica generalizzata con $\alpha = 2 > 1 $ notoriamente convergente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = \pi^2/6 $
Chiarissimo! Grazie mille
Buongiorno a tutti, riprendo questo argomento per chiedere un ulteriore chiarimento su un altro esercizio relativo alle serie.
Data $a_{n}=n\log(1-\frac{3}{n^2})$ allora la serie $\sum_{n=2}^{+\infty}a_{n}$
a) n.d.a; b) diverge a $-\infty$; c) converge ad un numero positivo; d) diverge a $+\infty$.
Ho verificato anzitutto la condizione necessaria per la convergenza e mi risulta $\lim _{n\to +\infty}a_{n}=0$.
Da qui poi procedo col criterio del confronto asintotico. Ottengo che la serie a termini positivi $\sum_{n=2}^{+\infty}(-\log(1-\frac{3}{n^2}))$ ha termine generale asintotico a $-\frac{3}{n^2}$ e quindi mi riduco a studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^{+\infty} (-\frac{3}{n})$ che diverge. Allora anche la serie di partenza diverge e segnerei la risposta b). E' corretto come modo di procedere?
Grazie mille in anticipo
Data $a_{n}=n\log(1-\frac{3}{n^2})$ allora la serie $\sum_{n=2}^{+\infty}a_{n}$
a) n.d.a; b) diverge a $-\infty$; c) converge ad un numero positivo; d) diverge a $+\infty$.
Ho verificato anzitutto la condizione necessaria per la convergenza e mi risulta $\lim _{n\to +\infty}a_{n}=0$.
Da qui poi procedo col criterio del confronto asintotico. Ottengo che la serie a termini positivi $\sum_{n=2}^{+\infty}(-\log(1-\frac{3}{n^2}))$ ha termine generale asintotico a $-\frac{3}{n^2}$ e quindi mi riduco a studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^{+\infty} (-\frac{3}{n})$ che diverge. Allora anche la serie di partenza diverge e segnerei la risposta b). E' corretto come modo di procedere?
Grazie mille in anticipo
"irizar":
Buongiorno a tutti, riprendo questo argomento per chiedere un ulteriore chiarimento su un altro esercizio relativo alle serie.
Data $a_{n}=n\log(1-\frac{3}{n^2})$ allora la serie $\sum_{n=2}^{+\infty}a_{n}$
a) n.d.a; b) diverge a $-\infty$; c) converge ad un numero positivo; d) diverge a $+\infty$.
Ho verificato anzitutto la condizione necessaria per la convergenza e mi risulta $\lim _{n\to +\infty}a_{n}=0$.
Da qui poi procedo col criterio del confronto asintotico. Ottengo che la serie a termini positivi $\sum_{n=2}^{+\infty}(-\log(1-\frac{3}{n^2}))$ ha termine generale asintotico a $-\frac{3}{n^2}$ e quindi mi riduco a studiare il carattere della serie $\sum_{n=2}^{+\infty} (-\frac{3}{n})$ che diverge. Allora anche la serie di partenza diverge e segnerei la risposta b). E' corretto come modo di procedere?
Grazie mille in anticipo
E' sostanzialmente corretto, modulo qualche imprecisione da fissare (piu' che altro per evitare bias futuri). Ovviamente, come hai correttamente notato, i termini \( n \log \left( 1 - \frac{3}{n^2} \right) \) sono tutti negativi; volendo applicare pedissequamente il criterio del confronto asintotico hai bisogno di confrontare due serie che siano entrambe a termini positivi. Osservando quindi che \[ \lim_n - \frac{n \log \left( 1 - \frac{3}{n^2} \right)}{3/n} =1 \] ottieni che \[ - \sum_{n=2}^{\infty} n \log \left( 1 - \frac{3}{n^2} \right) = + \infty \]da cui segue che b) e' vera. Nota che ho semplicemente riscritto le tue idee.
Grazie mille!! Anche per i chiarimenti sul come procedere in maniera più precisa.
Ne approfitto a questo punto per chiedere se posso procedere allo stesso modo per $a_{n}=n(1-e^{\frac{2}{n^3}})$ con la stessa richiesta dell'esercizio precedente. Osservo che $\lim _{n\to +\infty}a_{n}=0$ e $-(e^{\frac{2}{n^3}}-1)$ è asintotico a $-\frac{2}{n^3}$. Ottengo quindi che posso ricondurmi allo studio di $-2\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ che a meno della costante negativa è la serie armonica generalizzata con $\alpha=2$ che converge. In questo caso quindi la serie dovrebbe convergere ad un valore negativo. Pertanto segnerei come risposta corretta la a).
Grazie mille ancora!
Ne approfitto a questo punto per chiedere se posso procedere allo stesso modo per $a_{n}=n(1-e^{\frac{2}{n^3}})$ con la stessa richiesta dell'esercizio precedente. Osservo che $\lim _{n\to +\infty}a_{n}=0$ e $-(e^{\frac{2}{n^3}}-1)$ è asintotico a $-\frac{2}{n^3}$. Ottengo quindi che posso ricondurmi allo studio di $-2\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ che a meno della costante negativa è la serie armonica generalizzata con $\alpha=2$ che converge. In questo caso quindi la serie dovrebbe convergere ad un valore negativo. Pertanto segnerei come risposta corretta la a).
Grazie mille ancora!
Sì, il ragionamento è identico.
Grazie mile ancora 
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