Dubbio esercizio integrale doppio

[Dudey92]

Ciao, devo calcolare l'integrale doppio:

$\int int 4xy dxdy$

su D = {(x, y) : $ 0 <= y <= x; y^2 + (x - 1)^2 <= 1}

So che conviene calcolarlo con le coordinate polari e infatti è ciò che inizialmente ho fatto; come risultato mi viene $-(7)/(3)$.

Poi ho deciso di calcolarlo senza coordinate polari e ho considerato:

$D = D_1 uu D_2$

dove:

$D_1 = {(x, y) : 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x}$
$D_2 = {(x, y) : 1 <= x <= 2, 0 <= y <= sqrt(2x - x^2)}

Ma mi viene un risultato diverso...
Dove ho sbagliato???

[Andrea2976]

Come fa a venirti un valore negativo per l'integrale di una funzione positiva sul dominio che consideri?

[ciampax]

Sarei curioso di sapere che coordinate polari hai usato. In ogni caso il secondo metodo è giusto, e il risultato che ottieni, a meno che tu non abbia sbagliato i calcoli, dovrebbe essere quello corretto (e sarà un valore positivo).

[Dudey92]

Ho usato come coordinate polari:

$0 <= rho <= 2cos theta$
$0 <= theta <= (pi)/(4)$

[ciampax]

Quelle sono le "limitazioni" che hai trovato. Quello che volevo sapere è cosa avessi sostituito a $x$ e $y$.

[Dudey92]

{$x = rho cos theta$
{$y = rho sin theta$

$int int 4 rho^3 cos theta sin theta d rho d theta$

[Dudey92]

Qualcuno mi può dire cosa ho sbagliato???