Dubbio esercizio convergenza serie di potenze

[maryenn1]

Ciao a tutti,qualcuno potrebbe darmi una mano con questo esercizio?
Determinare l’insieme di convergenza e studiare la convergenza totale della seguente serie di
funzioni:
$sum_(n=0)^(oo) 2^n/(2n+ 4)*e^(nx)$
Io ho ragionato così: ho ricondotto questa serie ad una serie di potenze ponendo: $y=e^x$,poi ho applicato il criterio di D'Alembert:
$lim_(nto oo) |2^(n+1)/(2n+6)*(2n+4)/2^n|=2$
quindi il raggio di convergenza è $p=1/2$.
A questo punto ho visto cosa succede agli estremi dell'intervallo di convergenza e cioè,ho studiato il carattere di queste serie:
$sum_(n=0)^(oo) 2^n/(2n+4)*(-1/2)^n$ questa serie mi risulta convergente per il criterio di Leibniz
$sum_(n=0)^(oo) 2^n/(2n+4)*(1/2)^n$ questa mi risulta divergente (poichè c'è il termine $ (1)^n$ ??)
A questo punto ho posto a sistema:
$e^x<1/2$
$e^x>=-1/2$
e quindi ho dedotto che la serie converge in $]-oo, log(1/2) [$ (??) e converge totalmente in ogni intervallo compatto contenuto in $]-oo, log(1/2) [$ (??)
L'insieme di convergenza non dovrebbe essere simmetrico rispetto al punto iniziale della serie di potenze?

[ciampax]

No, lo sarebbe se avessi avuto sin dall'inizio la serie di potenze con base $y$, ma ovviamente l'esponenziale, non essendo una funzione simmetrica, modifica la forma dell'intervallo di convergenza. Il resto mi sembra corretto.

[maryenn1]

Grazie mille Un'altra cosa: se io alla fine nella risoluzione di quel sistema avessi ottenuto nessuna soluzione comune,allora avrei dovuto dedurre che la serie non coverge nè puntualmente,nè totalmente in nessun punto?
E se invece,avessi ottenuto come soluzione ogni x appartenente ad R,allora avrei dovuto dedurre che la serie converge sia puntualmente che totalmente in ogni punto?

[ciampax]

Sì, ma.... se avessi!