Dubbio equazione differenziale non omogenea
consideriamo la seguente equazione differenziale lineare :
$y''(t)-2y'(t)+2y(t)=t$
equazione omogenea associata: $s^2-2s+2=0$ che ha soluzioni complesse cioè le radici complesse sono: $1pmi$ per tanto l'integrale generale sarà ${c1*e^t*cos(t)+c2e^t*sin(t)|c1,c2 in RR}$
Il termine noto compare nella forma $f(t)=P(t)$ (polinomio di primo grado).
A questo punto vi pongo la mia domanda:
come faccio a capire se $t$ è soluzione della non omogenea??
$y''(t)-2y'(t)+2y(t)=t$
equazione omogenea associata: $s^2-2s+2=0$ che ha soluzioni complesse cioè le radici complesse sono: $1pmi$ per tanto l'integrale generale sarà ${c1*e^t*cos(t)+c2e^t*sin(t)|c1,c2 in RR}$
Il termine noto compare nella forma $f(t)=P(t)$ (polinomio di primo grado).
A questo punto vi pongo la mia domanda:
come faccio a capire se $t$ è soluzione della non omogenea??
Risposte
Nel modo più semplice: direttamente. Verifica direttamente se $y(t)=t$ risolve l'equazione.
cioè $ y(t)=t$,$y'(t)=1$,$y''(t)=0$--->$0-2+2t=t$-->$t=2$?? Non ho capito come devo fare !
Ma no! Questo calcolo che hai fatto mostra che $y(t)=t$ non è una soluzione dell'equazione assegnata. Ti sei mai chiesto cosa stai calcolando quando risolvi una equazione differenziale??? Per definizione una soluzione di una equazione differenziale è ... (cerca sul libro la definizione e rifletti sul perché $y(t)=t$ non lo sia).
Ora il metodo di somiglianza (ma forse lo chiami con un altro nome) ti suggerisce di cercare una soluzione della forma $y(t)=at + b$ dove $a, b$ sono costanti da determinarsi. Quindi concretamente devi sostituire $y(t)=at+b$ nell'equazione data e ricavare condizioni su $a, b$ affinché essa sia una soluzione. Chiaramente per fare questo devi avere ben chiaro cosa sia una soluzione.
Fino adesso come li hai fatti gli esercizi, come una macchinetta? E' sbagliato fare così. Fai un sacco di fatica e poi il giorno dopo l'esame non ti ricordi già più niente.
Ora il metodo di somiglianza (ma forse lo chiami con un altro nome) ti suggerisce di cercare una soluzione della forma $y(t)=at + b$ dove $a, b$ sono costanti da determinarsi. Quindi concretamente devi sostituire $y(t)=at+b$ nell'equazione data e ricavare condizioni su $a, b$ affinché essa sia una soluzione. Chiaramente per fare questo devi avere ben chiaro cosa sia una soluzione.
Fino adesso come li hai fatti gli esercizi, come una macchinetta? E' sbagliato fare così. Fai un sacco di fatica e poi il giorno dopo l'esame non ti ricordi già più niente.
Una funzione $v$ è soluzione dell'equazione differenziale nell'intervallo $I$ quando $vinC^2(I,R)$ e si ha per ogni $tinI$
$v''(t)+v'(t)+v=f(t)$
ma ancora non riesco a capire !
$v''(t)+v'(t)+v=f(t)$
ma ancora non riesco a capire !
Le soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea sono le funzioni reali $t->e^t*cost$ e $t->e^t*sint$ è giusto???
quindi la soluzione della non omogenea sarà, come dicevi prima, di tipo polinomiale ossia: $v(t)=At+B$ con $A,B$ da determinare !
quindi la soluzione della non omogenea sarà, come dicevi prima, di tipo polinomiale ossia: $v(t)=At+B$ con $A,B$ da determinare !
Lascia stare l'equazione omogenea. Sei andato avanti ad imparare un concetto avanzato senza avere ben chiaro il concetto fondamentale, ovvero che cos'è una soluzione.
Domanda 1: Per quale motivo la funzione $y(t)=t, t \in RR$ non è una soluzione dell'equazione differenziale (E) $y''(t)-2y'(t)+2y(t)=t$?
Risposta 1: Perché sostituendo $y(t)=t$ nella (E) non si perviene ad una identità valida per ogni $t$ nell'insieme di definizione della $y$.
Adesso prova a rispondere a questo:
Domanda 2: Per quali scelte delle costanti $A, B$ la funzione $y_{A, B}(t)=At+B, t \in RR$ è una soluzione dell'equazione differenziale (E)?
Domanda 1: Per quale motivo la funzione $y(t)=t, t \in RR$ non è una soluzione dell'equazione differenziale (E) $y''(t)-2y'(t)+2y(t)=t$?
Risposta 1: Perché sostituendo $y(t)=t$ nella (E) non si perviene ad una identità valida per ogni $t$ nell'insieme di definizione della $y$.
Adesso prova a rispondere a questo:
Domanda 2: Per quali scelte delle costanti $A, B$ la funzione $y_{A, B}(t)=At+B, t \in RR$ è una soluzione dell'equazione differenziale (E)?
Non lo so !
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