Dubbio equazione differenziale
Equazione differenziale:
${(x'(t) = (tx)/(t^2 + 1) log(x/2)),(x(1) = 1):}$
Svolgimento:
https://i.imgur.com/jdGLdXc.png
Ho provato a far vedere l'anteprima delle immagini ma si vedeva male e ho messo il link.
Non capisco cosa intenda con:
Siccome la soluzione del problema di Cauchy verifica la condizione $ x(1) = 1 < 2 $, per l’unicità delle soluzioni si avrà
$ 0 < x(t) < 2$ in tutto il suo dominio.
Come fa la nostra soluzione $ x = 2 $ a verificare la condizione $ x(1) = 1 $? Perché poi scrive $ x(1) = 1 $ che è minore uguale di $2$? O.o
${(x'(t) = (tx)/(t^2 + 1) log(x/2)),(x(1) = 1):}$
Svolgimento:
https://i.imgur.com/jdGLdXc.png
Ho provato a far vedere l'anteprima delle immagini ma si vedeva male e ho messo il link.
Non capisco cosa intenda con:
Siccome la soluzione del problema di Cauchy verifica la condizione $ x(1) = 1 < 2 $, per l’unicità delle soluzioni si avrà
$ 0 < x(t) < 2$ in tutto il suo dominio.
Come fa la nostra soluzione $ x = 2 $ a verificare la condizione $ x(1) = 1 $? Perché poi scrive $ x(1) = 1 $ che è minore uguale di $2$? O.o
Risposte
Ciao Luk_3D,
Riscrivo qui di seguito il PdC (Problema di Cauchy) proposto, così magari elimini quelle brutte immagini dell'OP, che a lungo andare si perderebbero rendendo il thread poco significativo, e lo correggi con quanto compare qui di seguito...
Esercizio n. 3 Risolvere il problema di Cauchy
${(x'(t) = (tx)/(t^2 + 1) log(x/2)),(x(1) = 1):}$
scrivendo esplicitamente il dominio della soluzione.
Quanto al resto ti rimanderei alla teoria e ti farei osservare che nella soluzione proposta c'è scritto che l'unica soluzione costante è $x(t) = 2 \quad \AA t \in \RR $ che non risolve il problema di Cauchy proposto.
Riscrivo qui di seguito il PdC (Problema di Cauchy) proposto, così magari elimini quelle brutte immagini dell'OP, che a lungo andare si perderebbero rendendo il thread poco significativo, e lo correggi con quanto compare qui di seguito...
Esercizio n. 3 Risolvere il problema di Cauchy
${(x'(t) = (tx)/(t^2 + 1) log(x/2)),(x(1) = 1):}$
scrivendo esplicitamente il dominio della soluzione.
Quanto al resto ti rimanderei alla teoria e ti farei osservare che nella soluzione proposta c'è scritto che l'unica soluzione costante è $x(t) = 2 \quad \AA t \in \RR $ che non risolve il problema di Cauchy proposto.
"pilloeffe":
Ciao Luk_3D,
Riscrivo qui di seguito il PdC (Problema di Cauchy) proposto, così magari elimini quelle brutte immagini dell'OP, che a lungo andare si perderebbero rendendo il thread poco significativo, e lo correggi con quanto compare qui di seguito...
Esercizio n. 3 Risolvere il problema di Cauchy
${(x'(t) = (tx)/(t^2 + 1) log(x/2)),(x(1) = 1):}$
scrivendo esplicitamente il dominio della soluzione.
Quanto al resto ti rimanderei alla teoria e ti farei osservare che nella soluzione proposta c'è scritto che l'unica soluzione costante è $x(t) = 2 \quad \AA t \in \RR $ che non risolve il problema di Cauchy proposto.
Sono pienamente d'accordo con te e allora che senso ha quella frase che ha scritto?
Siccome la soluzione del problema di Cauchy verifica la condizione $ x(1) = 1 < 2 $, per l’unicità delle soluzioni si avrà
$ 0 < x(t) < 2$ in tutto il suo dominio.
$x(t) = 2 $ non è soluzione del PdC, ma è soluzione dell'equazione differenziale. Siccome per l'esistenza del logaritmo deve essere $x(t) > 0 \quad \AA t \in \RR$ e si ha $x(1) = 1 $, allora necessariamente per la soluzione $x(t)$ del PdC deve verificarsi che $0 < x(t) < 2$.
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