[Dubbio] Equazione Differenziale

[Giux1]

Ciao ragazzi... sto cercando di risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:

$y' = y/x + 1/xe^(3/x)$

il problema e che verso la fine dei calcoli mi ritrovo con questa espressione:

$ y = c|x| + |x|\int (1/xe^(3/x)1/|x|)dx$

che il libro risolve in questo modo:

$|x|*[c + sgn(x)*\int1/x^2e^(3/x)dx] = |x|*[c-sgn(x)1/3e^(3/x)] = x(c-1/3*e^(3/x))$

da dove viene fuori la funzione $sgn(x)$ quali sono i passaggi intermedi che portano a questa soluzione????

Grazie..

[Gi81]

La funzione $text{sgn}(x)$ (sarebbe la funzione "segno") è quell'applicazione così definita: $text{sgn}(x)= {(1 \qquad \text{ se } x>0),(-1 \quad \text{ se } x<0),(0 \qquad \text{ se } x=0):}$

Questo ci permette, dentro l'integrale, di ottenere $1/x *1/|x|= \text{sgn}(x)* 1/(x^2)$,
e poi $text{sgn}(x)$ si porta fuori.

[Giux1]

Grazie mille... effettivamente in $1/x * 1/|x|$ c'è nascosta la funzione $sgn(x)$.... quindi valgono anche le seguenti espressioni?

$|x|x = sgn(x)x^2$
$x/|x| = sgn(x)$
$|x|/x = sgn(x)$
ecc...