Dubbio equazione di Bernulli

[identikit_man-votailprof]

Ciao a tutti raga non capisco se la seguente equazione è un equazione di Bernulli:
$y'=(2)/(x-1)y+sqrt(y)$
La definizione di equazione di Bernulli è:
$y'=a(x)y+b(x)y^m$
con $a(x)$ e $b(x)$ funzioni continue.

[Rigel1]

Bernoulli...
Prendi $m=1/2$.

[identikit_man-votailprof]

Il problema è che non capisco come risolverla; io ho posto $z(x)=sqrt(y(x))$.
supponendo di cercare soluzioni positive; sostituendo ho trovato:
$z'(x)=1/(x-1)z(x)+1/2$
che dovrebbe essere un equazione lineare omogenea del primo ordine.Giusto?

[Rigel1]

Giusto. Naturalmente hai già escluso la soluzione identicamente nulla e stai cercando soluzioni $y>0$ (e dunque anche $z>0$)...

[identikit_man-votailprof]

Si a questo punto trovo l'integrale generale della mia equazione omogenea associata:
che mi risulte essere:
$z(x)=k(x-1)$ con $k$ costante.
A questo punto a questa devo andare a sommare ll soluzione particolare; che però non riesco a capire come fare a trovare.

[Rigel1]

Variazione delle costanti?
Formula risolutiva per le equazioni lineari del prim'ordine?

[identikit_man-votailprof]

Ho usato il primo metodo di lagrange delle variazioni delle costanti.
significa trovare una soluzione del tipo $C(x)*(x-1)$
Ora per trovare $C(x)$ imporre che la relazione scritta sopra soddisfi la mia equazione e quindi:
$C'(x)(x-1)+C(x)=1/(x-1)*C(x)*(x-1)+1/2$
Da cui ottengo che:
$C'(x)=1/(2(x-1))$ da cui integrando $C(x)=1/2ln(x-1)$
e' corretto?

[Rigel1]

$C(x) = \frac{1}{2} \log|x-1|$ è meglio.

[identikit_man-votailprof]

alla fine quindi la soluzione particolare dovrebbe essere:
$(x-1)*1/2log|x-1|$
Corretto?

[Rigel1]

Per controllare derivala, sostituisci nell'equazione e vedi se è soddisfatta.