Dubbio Equazione

[devt]

Ciao a tutti,

Ho un dubbio su questa equazione nella quale bisogna trovare le soluzioni in forma algebrica:
$ 2barz = iz^2$

Ponendo $z= a + ib$ arrivo a questo sistema
${(a^2 - b^2 = 2a),(2ab = -2b):}$

Dalla quale arrivo poi a queste soluzioni:
$z_0=0 ;$
$z_1=2;$
$z_2=-1+sqrt(3)i;$
$z_3=-1-sqrt(3)i$

Non mi sembrano però corrette, dove sto sbagliando?
Grazie mille!

[StellaMartensitica]

[ot]Per qualche motivo, a mio avviso, ti sono venute parti reali e parte immaginaria scambiate.[/ot]
$ 2barz = iz^2 $
$z=0$ è soluzione.

Adesso, tenendo a mente che $z=0$ è soluzione, moltiplica destra e sinistra per $z$, facendo finta che $z!=0$.

$2*\bar(z)*z=i*z^2*z$

$2*|z|^2=i*z^3$

$2*|z|^2*1=i*z^3$


$2*|z|^2*[cos(0)+i*sen(0)]=i*z^3$

$2*|z|^2*[cos(0)+i*sen(0)]=[cos(pi/2)+i*sen(pi/2)]*z^3$

pongo:
$z=|z|*[cos(\theta)+isen(\theta)]$
onde:
$2*|z|^2*[cos(0)+i*sen(0)]=[cos(pi/2)+i*sen(pi/2)]*|z|^3*[cos(3\theta)+isen(3\theta)]$

dato che sto fingendo che $z!=0$, divido a destra e sinistra per $|z|^2$ e compatto moltiplicando i numeri complessi espressi in forma trigonometrica:

$2*[cos(-pi/2)+i*sen(-pi/2)]=|z|*[cos(3\theta)+isen(3\theta)]$

da cui ottengo $|z|=2$
$3\theta=-pi/2+2*k*pi$

dato che so che:

$z=|z|*[cos(\theta)+isen(\theta)]$

L'equazione è presto risolta:

$z_k=2*[cos(-pi/6+2*k*pi/3)+i*sen(-pi/6+2*k*pi/3)]$
con $k=0,1,2$

in definitiva si ha:
$z_0=2*[cos(-pi/6)+i*sen(-pi/6)]=2*[sqrt(3)/2-1/2*i]=sqrt(3)-i$

$z_1=2*[cos(pi/2)+i*sen(pi/2)]=2i$

$z_2=2*[cos(7/6pi)+isen(7/6pi)]=2*[-sqrt(3)/2-1/2i]=-sqrt(3)-i$

da aggiungerci anche $z=0$

Combaciano con quanto propone il testo?

[Obidream]

Mi sembra il risultato corretto Sir, comunque il sistema impostato da OP mi sa che è sbagliato:

$2\bar z = i*z^2$

In forma algebrica ($z=x+iy$):

$2(x-iy) = i(x+iy)^2$

$2x-2iy = i (x^2+2ixy-y^2)$

$2x-2iy = ix^2-2xy-iy^2$
$2x-2iy = -2xy+i(x^2-y^2)$

Quindi il sistema da risolvere è:

$\{(2x = -2xy),(-2y = x^2-y^2):}$

$\{(2x = -2xy),(x = +- sqrt(y^2-2y)):}$

Per $x=sqrt(y^2-2y)$ si ha:

$2sqrt(y^2-2y)=-2ysqrt(y^2-2y)$ (*)

$sqrt(y^2-2y)+ysqrt(y^2-2y)$ ovvero $sqrt(y^2-2y)*(y+1)=0$ che è verificata per $y=0$, $y=-1$, $y=2$

Le 3 soluzioni verificano (*), quindi non ne scarto nessuna. Facendo un ragionamento analogo per $x=-sqrt(y^2-2y)$ trovo ancora $y=0$, $y=-1$, $y=2$ che verificano $-2*sqrt(y^2-2y)=2ysqrt(y^2-2y)$.
Quindi sostituendo $y=0$, $y=-1$, $y=2$ in $-2y=x^2-y^2$ ottengo rispettivamente:

$0=x^2-0$ ovvero $x=0$ quindi $z=0$

$2=x^2-1$, $x=+-sqrt(3)$ quindi $z=+-sqrt(3)-i$

$-4=x^2-4$, $x=0$ quindi $z=2i$

[devt]

Grazie mille SirDanielFortesque, spiegato molto chiaramente .
In effetti riguardando i miei calcoli ancora non capisco bene, forse hai ragione Obidream riguardo al mio sistema...grazie ad entrambi!

[StellaMartensitica]

In questo caso i calcoli nella forma trigonometrica e algebrica erano la stessa quantità. A seconda del caso si deve valutare quale strada prendere.