Dubbio EDO con Laplace

[ELWOOD1]

Ciao a tutti,
dovrei risolvere questa ED con Laplace:

${(y'''-y=0),(y(0)=1),(y'(0)=-4),(y''(0)=0):}$

allora chiamo $Y=L[y]$

ottengo:

$L[y''']=p^3Y-p^2+4p$ per cui sostituendo ho:

$(p^3-1)Y=p^2-4p$ da cui

$Y=\frac{p^2-4p}{p^3-1}$ ora dovrei antitrasformare, ma scomponendo il polinomio arrivo a:

$L^(-1)[\frac{p^2-4p}{p^3-1}]=\frac{p^2-4p}{(p-1)(p^2+p+1)}=\frac{p^2-4p+3p-3p}{(p-1)(p^2+p+1)}=\frac{p(p-1)-3p}{(p-1)(p^2+p+1)}=\frac{p}{p^2+p+1}-\frac{3p}{p-1}$

augurandomi che fin qui sia corretto, non riesco ad andare avanti, non riuscendo a vedere le antitrasformate elementari...

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Un altro es, più che altro sulla scomposizione di polinomi.
Il mio prof arriva ad un certo punto con:

$Y=\frac{2+(p-1)^3(p^2-3p+1)}{(p-1)^6}$
ora da qua lui trova:

$Y=\frac{1}{(p-1)}-\frac{1}{(p-1)^2}-\frac{1}{(p-1)^3}+\frac{2}{(p-1)^6}$

Non capisco come faccia ad arrivare a questo risultato, io ad esempio lo scomporrei in questa maniera:

$Y=\frac{2+(p-1)^3(p^2-3p+1)}{(p-1)^6}=\frac{2}{(p-1)^6}+\frac{p^2-3p+1+p-p}{(p-1)^3}=\frac{2}{(p-1)^6}+\frac{(p-1)^2-p}{(p-1)^3}=\frac{2}{(p-1)^6}+\frac{1}{p-1}-\frac{p}{(p-1)^3}$

cosa sbaglio?

vi ringrazio

[Sk_Anonymous]

Il procedimento e le formule sono corretti, non ho controllato i conti. Tuttavia, non ho compreso la presenza di $[H(x)]$, io avrei semplicemente scritto:

$[Y(p)=(5p^2-15p-11)/((p+1)(p-2)^3)] rarr [y(x)=-1/3e^(-x)-(7/2x^2-4x+2/3)e^(2x)]$

A meno che tu, con $[H(x)]$, intenda la funzione gradino, io la sottintendo. Inoltre, devi aver dimenticato un fattore $[1/2]$ quando hai antitrasformato $[-7/(p-2)^3]$. Se $[N°>=D°]$ devi fare la divisione polinomiale, non ho compreso la tua condizione.

[ELWOOD1]

Si, $H(x)$ è la funzione gradino.

Per l'ultima questione, è vero che va fatta la divisione polinomiale, ma quello che volevo capire è se ad es:

$\frac{5p^2+4p}{(p+1)^3}$ oppure $\frac{4p}{(p+1)^3}$ la scomposizione in fratti semplici va fatta sempre nella stessa maniera:

$\frac{A}{(p+1)}+\frac{B}{(p+1)^2}+\frac{C}{(p+1)^3}$

Oppure i coefficienti al numeratore potrebbero assumere la forma polinomiale $Ap+B$...

grazie per il fattore $1/2$

[Sk_Anonymous]

La regola non cambia: per ogni binomio al denominatore del tipo $(p-p_0)^n$ si scrive la seguente somma:

$[C_1/(p-p_0)+C_2/(p-p_0)^2+...+C_(n-1)/(p-p_0)^(n-1)+C_n/(p-p_0)^n]$

[ELWOOD1]

OK perfetto.
Bè che dire....a dir poco straordinario.
Non so davvero come ringraziarti!