Dubbio EDO con Laplace

[ELWOOD1]

Ciao a tutti,
dovrei risolvere questa ED con Laplace:

${(y'''-y=0),(y(0)=1),(y'(0)=-4),(y''(0)=0):}$

allora chiamo $Y=L[y]$

ottengo:

$L[y''']=p^3Y-p^2+4p$ per cui sostituendo ho:

$(p^3-1)Y=p^2-4p$ da cui

$Y=\frac{p^2-4p}{p^3-1}$ ora dovrei antitrasformare, ma scomponendo il polinomio arrivo a:

$L^(-1)[\frac{p^2-4p}{p^3-1}]=\frac{p^2-4p}{(p-1)(p^2+p+1)}=\frac{p^2-4p+3p-3p}{(p-1)(p^2+p+1)}=\frac{p(p-1)-3p}{(p-1)(p^2+p+1)}=\frac{p}{p^2+p+1}-\frac{3p}{p-1}$

augurandomi che fin qui sia corretto, non riesco ad andare avanti, non riuscendo a vedere le antitrasformate elementari...

_________________

Un altro es, più che altro sulla scomposizione di polinomi.
Il mio prof arriva ad un certo punto con:

$Y=\frac{2+(p-1)^3(p^2-3p+1)}{(p-1)^6}$
ora da qua lui trova:

$Y=\frac{1}{(p-1)}-\frac{1}{(p-1)^2}-\frac{1}{(p-1)^3}+\frac{2}{(p-1)^6}$

Non capisco come faccia ad arrivare a questo risultato, io ad esempio lo scomporrei in questa maniera:

$Y=\frac{2+(p-1)^3(p^2-3p+1)}{(p-1)^6}=\frac{2}{(p-1)^6}+\frac{p^2-3p+1+p-p}{(p-1)^3}=\frac{2}{(p-1)^6}+\frac{(p-1)^2-p}{(p-1)^3}=\frac{2}{(p-1)^6}+\frac{1}{p-1}-\frac{p}{(p-1)^3}$

cosa sbaglio?

vi ringrazio

[Sk_Anonymous]

A proposito del primo esercizio:

$[Y(p)=(p^2-4p)/((p-1)(p^2+p+1))] rarr [Y(p)=(p^2-4p)/((p-1)(p+1/2+isqrt3/2)(p+1/2-isqrt3/2))] rarr$

$rarr [Y(p)=A/(p-1)+B/(p+1/2+isqrt3/2)+C/(p+1/2-isqrt3/2)]$

$A=lim_(p->1)[(p-1)*(p^2-4p)/((p-1)(p+1/2+isqrt3/2)(p+1/2-isqrt3/2))]=$

$=lim_(p->1)[(p^2-4p)/((p+1/2+isqrt3/2)(p+1/2-isqrt3/2))]=-1$

$B=lim_(p->-1/2-isqrt3/2)[(p+1/2+isqrt3/2)*(p^2-4p)/((p-1)(p+1/2+isqrt3/2)(p+1/2-isqrt3/2))]=$

$=lim_(p->-1/2-isqrt3/2)[(p^2-4p)/((p-1)(p+1/2-isqrt3/2))]=1-i2/3sqrt3$

$C=lim_(p->-1/2+isqrt3/2)[(p+1/2-isqrt3/2)*(p^2-4p)/((p-1)(p+1/2+isqrt3/2)(p+1/2-isqrt3/2))]=$

$=lim_(p->-1/2+isqrt3/2)[(p^2-4p)/((p-1)(p+1/2+isqrt3/2))]=1+i2/3sqrt3$

$[Y(p)=(-1)/(p-1)+(1-i2/3sqrt3)/(p+1/2+isqrt3/2)+(1+i2/3sqrt3)/(p+1/2-isqrt3/2)]$

Spero di non aver sbagliato gli ultimi calcoli. Come verifica, sarebbe meglio che tu li rifacessi. Ora dovresti riuscire a vedere le antitrasformate elementari.

[ELWOOD1]

Grazie Speculor,
come sempre conciso e illuminante.

I calcoli mi sembrano corretti, ma mi è del tutto nuovo il metodo con cui hai determinato i coefficienti $A$,$B$,$C$ di cosa si tratta? (curiosità) PS: per caso sai in cosa consiste il metodo di Heaviside per il calcolo delle radici polinomiali?

Non ho mai trattato le radici complesse, ma sapendo che "dovrei ritrovarmi" come il prodotto $e^{+-\alpha}sin(\omega x)$

non capisco come ricollegare ad esempio la frazione $(1-i2/3sqrt3)/(p+1/2+isqrt3/2)$ alla forma $\frac{\omega}{(p+-\alpha)^2+\omega^2}$

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio. Quando la funzione razionale fratta ha un polo del prim'ordine, puoi calcolare più agevolmente il coefficiente incognito che compare nella sua scomposizione in fratti semplici mediante quel limite. Non dovrebbe risultarti difficile comprenderne il motivo. Inoltre:

$[Y(p)=(-1)/(p-1)+(1-i2/3sqrt3)/(p+1/2+isqrt3/2)+(1+i2/3sqrt3)/(p+1/2-isqrt3/2)] rarr$

$rarr [y(t)=-e^t+(1-i2/3sqrt3)e^((-1/2-isqrt3/2)t)+(1+i2/3sqrt3)e^((-1/2+isqrt3/2)t)]$

Manipolando opportunamente gli ultimi due termini, ottieni l'espressione reale di cui necessiti. Infine, il procedimento che ho utilizzato dovrebbe chiamarsi "metodo di Heaviside", ho appena controllato in rete.

[ELWOOD1]

Perfetto, ho capito il metodo che tra l'altro potrebbe applicarsi anche in questa maniera evidentemente:

sia $F(p)=\frac{N(p)}{D(p)}$ con $N(p)$ radici semplici $p_1,p_2...p_k...p_n$

allora $L^{-1}[\frac{N(p)}{D(p)}]=\sum_{k=1}^n \frac{N(p_k)}{D'(p_k)}*\frac{1}{(p-p_k)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{N(p_k)}{D'(p_k)} L[e^{p_kx}H(x)]$

Al di là di ciò, tornando all'esercizio provo ad eliminare i complessi in questa maniera:

$y(x)=-e^x+(1-i2/3sqrt3)e^((-1/2-isqrt3/2)x)+(1+i2/3sqrt3)e^((-1/2+isqrt3/2)x)]$

$[-e^x+e^{-1/2x}\{[\cos(\frac{sqrt3x}{2})+i\sin(\frac{sqrt3x}{2})]*(1+i2/3sqrt3)+[\cos(\frac{sqrt3x}{2})-i\sin(\frac{sqrt3x}{2})]*(1-i2/3sqrt3)\}$


moltiplicando membro a membro si elidono gli immaginari ottenendo:

$y(x)=[-e^x+e^{-1/2x}(2\cos(\frac{\sqrt(3)x}{2})-\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin(\frac{\sqrt(3)x}{2}))]H(x)$

In questo caso ho avuto la "fortuna" che gli immaginari puri si sono elisi, ma può accadere che ciò non avvenga?

O forse dico una cavolata per il fatto che otteniamo sempre 2 radici coniugate...

Thanks

[Sk_Anonymous]

Non sei stato fortunato, otterrai sempre una soluzione reale. Come hai giustamente notato, questa proprietà deriva dall'avere sempre coppie di poli complessi coniugati. A proposito del secondo esercizio, in questo caso la scomposizione in fratti semplici assume la seguente forma:

$[Y(p)=(2+(p-1)^3(p^2-3p+1))/(p-1)^6] rarr$

$rarr [Y(p)=A/(p-1)+B/(p-1)^2+C/(p-1)^3+D/(p-1)^4+E/(p-1)^5+F/(p-1)^6]$

La determinazione dei coefficienti incogniti risulta piuttosto laboriosa. Si potrebbe procedere per forza bruta, mediante il principio di identità dei polinomi, oppure con formule analoghe a quelle che ti ho mostrato in precedenza, anche se più complesse. Probabilmente, prima di applicare uno di questi due metodi, conviene vedere se si riesce ad arrivare alla medesima espressione mediante opportuni artifici.

[ELWOOD1]

Ok, mi sorge un piccolo dubbio però utilizzando il metodo di scomposizione.

Supponiamo infatti di voler antitrasformare il seguente polinomio:

$\frac{3p^3+2p^2+2p+2}{p^3(p+1)}$

in questo caso $N° allora col tuo metodo potrei scomporlo in $\frac{A}{p^3}+\frac{B}{(p+1)}$

ottenendo:

$A=lim_{p->0}[p^3*\frac{3p^3+2p^2+2p+2}{p^3(p+1)}]=2$

$B=lim_{p->-1}[(p+1)*\frac{3p^3+2p^2+2p+2}{p^3(p+1)}]=1$

Per cui antitrasformando ho che

$L^(-1)(x)[\frac{2}{p^3}+\frac{1}{p+1}]=x^2+e^(-x)$

anche se la soluzione corretta è sommata dalla costante:

$L^(-1)(x)=x^2+e^(-x)+2$

Per cui come faccio con questo metodo a tener conto di un'eventuale costante arbitraria?
E' applicabile solamente con $N°=D°$?

[Sk_Anonymous]

Devi scomporlo così:

$[(3p^3+2p^2+2p+2)/(p^3(p+1))=A/p+B/p^2+C/p^3+D/(p+1)]$

Per determinare i coefficienti incogniti, puoi procedere nei due modi descritti in precedenza. Se decidi di utlizzare i limiti, devi fare attenzione alle formule. Voglio dire, se il polo è di ordine maggiore di uno devi anche derivare.

[ELWOOD1]

Ok, ma per semplicità supponiamo di avere la seguente espressione:

$L(y)[\frac{1}{p^2*(p+1)}]$ allora posso scomporla come $\frac{A}{p}+\frac{B}{p^2}+\frac{C}{p+1}$

col metodo dei fratti semplici mi trovo $A=-1$, $B=1$ e $C=1$ se volessi fare col metodo che hai usato te però avrei:

$A=lim_{p->0}[p*\frac{1}{p^2*(p+1)}]=lim_{p->0}[\frac{1}{p*(p+1)}]$ il che mi da forma indeterminata $1/0$ quindi come dovrei procedere in questo caso?Perchè anche derivando al denominatore mi troverei $A=1/2$ il che non è corretto

Poi vorrei postarti un altro esempio che ho cercato di risolvere col tuo metodo, (non vorrei però abusare della tua disponibilità):

avendo $L(y)[\frac{3p}{(p^2+1)^2}]$ ho pensato di scomporla in questa maniera:

$\frac{A}{(p-i)^2}+\frac{B}{(p+i)^2}$ in modo da tenere al denominatore una radice di grado $n+1$ rispetto al numeratore***. Ho quindi con i limiti:

$A=lim_{p->+i}[(p-i)^2*\frac{3p}{(p-i)^2(p+i)^2}]=-3/4 i$

$B=lim_{p->-i}[(p+i)^2*\frac{3p}{(p-i)^2(p+i)^2}]=+3/4 i$

per cui $L(y)=\frac{-3/4 i}{(p-i)^2}+\frac{3/4 i}{(p+i)^2}$

ora potrei considerare $L^(-1)[\frac{1}{(p-i)^2}]=e^{ix}L^(-1)[1/(p^2)]=e^{ix}*x$ così anche per l'altra avrei infine:

$y(x)=x[(-3/4i)e^{ix}+(3/4i)e^{-ix}]H(x)=3/2x\sinx H(x)$

*** ho lasciato le radici di grado 2 perchè se le avessi scomposte in questa maniera:

$\frac{1}{(p+i)(p-i)(p+i)(p-i)}$ nella determinazione dei coefficienti mi ritroverei dei limiti in forma indeterminata come anzidetto. Ovviamente non sono per niente sicuro se questo sia un ragionamento corretto

[Sk_Anonymous]

Non stai applicando le formule in modo corretto. Per esempio:

$[1/(p^2(p+1))=A/p+B/p^2+C/(p+1)]$

$A=lim_(p->0)[d/(dp)[p^2*1/(p^2(p+1))]]=-1$

$B=lim_(p->0)[p^2*1/(p^2(p+1))]=1$

$C=lim_(p->-1)[(p+1)*1/(p^2(p+1))]=1$

Esiste una formula generale per determinare quei coefficienti nel caso in cui si abbia un polo di ordine maggiore di uno. Se non riesci a trovarla, te la scrivo nel prossimo messaggio. Il secondo esempio che hai proposto si svolge in modo analogo.

[ELWOOD1]

[quote=speculor]

$A=lim_(p->0)[d/(dp)[p^2*1/(p^2(p+1))]]=-1$

scusami, ma non capisco il ragionamento logico della derivata

[ELWOOD1]

Ok, infatti le formule che hai applicato dei limiti non le conosco, però le ho trovate comode e ho cercato di applicarle anche a quell'esercizio, ma evidentemente non le ho applicate in maniera corretta. Ti ringrazio se hai il link dove posso trovare qualche spiegazione generale.

Anche nell'esempio che ho svolto quindi non è corretto?

PS: se si tratta del metodo dei residui non l'ho mai incontrata nel mio corso

[Sk_Anonymous]

Lo sviluppo in serie di Laurent centrato in $[p=0]$ vale:

$[1/(p^2(p+1))]=c_(-2)/p^2+c_(-1)/p+c_0+c_1p+...$

Quando moltiplichi per $[p^2]$ ottieni:

$[p^2*1/(p^2(p+1))]=c_(-2)+c_(-1)p+c_0p^2+c_1p^3+...$

Quindi, per ottenere $[c_(-2)]$ basta fare il limite, ma per ottenere $[c_(-1)]$ devi prima derivare:

$d/(dp)[p^2*1/(p^2(p+1))]=c_(-1)+2c_0p+3c_1p^2+...$

Ora dovresti comprenderne la ragione, anche per poli di ordine più elevato.

[ELWOOD1]

Forse ho capito, per cui se $R=°D-°N$ è maggiore di uno, (fosse ad esempio 2) si deriva l'espressione moltiplicata per il coeff. di grado 2, se fosse di grado 3 si deriva 2 volte l'espressione, moltiplicata per il termine di grado 3. Ci sono?


Per cui nell'esempio che ho postato, va bene il mio ragionamento di "fermare" la scomposizione del denominatore fino alla differenze di grado 1 rispetto al numeratore, per cui:

$L(y)[\frac{3p}{(p^2+1)^2}]=[\frac{A}{(p-i)^2}+\frac{B}{(p+i)^2}]$

Per cui così facendo non ho derivate tra i piedi giusto?

Se invece vorrei scomporlo in questa maniera:

$\frac{A}{(p+i)}+\frac{B}{(p-i)}+\frac{C}{(p+i)}+\frac{D}{(p-i)}$ avrei:

$A=lim_{p=-i}[d/(dp) ( (p+i)^2 \frac{1}{(p+i)(p-i)(p+i)(p-i)})]$

analagomente per $B$ $C$ e $D$

[Sk_Anonymous]

Non puoi decidere tu il tipo di scomposizione. Per esempio:

$[(3p)/(p^2+1)^2=(3p)/((p+i)^2(p-i)^2)=A/(p+i)+B/(p+i)^2+C/(p-i)+D/(p-i)^2]$

$A=lim_(p->-i)[d/(dp)[(p+i)^2(3p)/(p^2+1)^2]]=lim_(p->-i)[d/(dp)[(3p)/(p-i)^2]]=0$

$B=lim_(p->-i)[(p+i)^2(3p)/(p^2+1)^2]=lim_(p->-i)[(3p)/(p-i)^2]=3/4i$

$C=lim_(p->i)[d/(dp)[(p-i)^2(3p)/(p^2+1)^2]]=lim_(p->i)[d/(dp)[(3p)/(p+i)^2]]=0$

$D=lim_(p->i)[(p-i)^2(3p)/(p^2+1)^2]=lim_(p->i)[(3p)/(p+i)^2]=-3/4i$

$[(3p)/(p^2+1)^2=3/4i*1/(p+i)^2-3/4i*1/(p-i)^2]$

Voglio dire, quale che sia il metodo utilizzato, devi tener conto di tutti i coefficienti ottenuti diversi da zero. In altri termini, non puoi arbitrariamente pensare che i fratti semplici abbiano solo il binomio al quadrato al denominatore. Il metodo stesso che hai deciso di utilizzare ti indica quali sono i fratti semplici che devi considerare. Inoltre, quando hai un polo di ordine $[n]$, per determinare tutti i coefficienti corrispondenti devi coinvolgere tutte le derivate fino all'ordine $[n-1]$. Devi tener conto anche di un fattoriale, spero tu abbia trovato la formula generale di cui sto parlando. Infine, non capisco per quale motivo ti preoccupi del grado del numeratore. Dopo un'eventuale divisione, il grado del numeratore sarà minore del grado del denominatore e il procedimento utilizzato è indipendente dai loro gradi relativi.

[ELWOOD1]

Ok, allora è un caso che l'esercizio mi torni anch come ho fatto io?

sto dando un'occhiata a queste pagine, e vedo se ci capisco qualcosa:

http://www.dii.unimo.it/zanasi/didattic ... mplici.pdf

casomai tornerò a chiederti qualcosa
grazie

[ELWOOD1]

Non capisco però:

"speculor":
$A=lim_(p->-i)[d/(dp)[(p+i)^2(3p)/(p^2+1)^2]]=lim_(p->-i)[d/(dp)[(3p)/(p-i)^2]]=-45/4$

Io farei:

$A=lim_{p->−i}[d/(dp)[(3p)/(p-i)^2]]=lim_{p->−i}\frac{3(p-i)^2-6p(p-i)}{(p-i)^4}$

$=lim_{p->−i}\frac{3(p-i)-6p}{(p-i)^3}\rarr \frac{3(-2i)-6(-i)}{(p-i)^3}=0 \ ????$

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, ho corretto.

[ELWOOD1]

ok...almeno i limiti riesco ancora a farli bene... Però se guardi i risultati sono gli stessi che vengono a me applicando malamente il metodo....mah curioso

[Sk_Anonymous]

A ritroso, ponendo per semplicità $[A=B=C=D=1]$ e facendo i conti, non è difficile fare un controesempio:

$[(2p^3+2p^2+2p-2)/(p^2+1)^2=(2p^3+2p^2+2p-2)/((p+i)^2(p-i)^2)=A/(p+i)+B/(p+i)^2+C/(p-i)+D/(p-i)^2]$

$A=lim_(p->-i)[d/(dp)[(p+i)^2(2p^3+2p^2+2p-2)/(p^2+1)^2]]=lim_(p->-i)[d/(dp)[(2p^3+2p^2+2p-2)/(p-i)^2]]=1$

$B=lim_(p->-i)[(p+i)^2(2p^3+2p^2+2p-2)/(p^2+1)^2]=lim_(p->-i)[(2p^3+2p^2+2p-2)/(p-i)^2]=1$

$C=lim_(p->i)[d/(dp)[(p-i)^2(2p^3+2p^2+2p-2)/(p^2+1)^2]]=lim_(p->i)[d/(dp)[(2p^3+2p^2+2p-2)/(p+i)^2]]=1$

$D=lim_(p->i)[(p-i)^2(2p^3+2p^2+2p-2)/(p^2+1)^2]=lim_(p->i)[(2p^3+2p^2+2p-2)/(p+i)^2]=1$

$[(2p^3+2p^2+2p-2)/(p^2+1)^2=1/(p+i)+1/(p+i)^2+1/(p-i)+1/(p-i)^2]$

In questo caso, e in infiniti altri, non puoi liberarti a priori dei fratti semplici di cui parlavi. Sempre che io abbia inteso correttamente le tue perplessità.

[ELWOOD1]

Perfetto, quindi riepilogando posto un esempio generale, svolto per vedere se ho capito:

sia $Y=\frac{5p^2-15p-11}{(p+1)(p-2)^3}=\frac{A}{p+1}+\frac{B}{p-2}+\frac{C}{(p-2)^2}+\frac{D}{(p-2)^3}$

allora

$A=lim_{p->-1}[(p+1)*\frac{5p^2-15p-11}{(p+1)(p-2)^3}]=-1/3$

$B=lim_{p->2}[\frac{1}{(3-1)!}\frac{d^2}{dp^2} ((p-2)^3*\frac{5p^2-15p-11}{(p+1)(p-2)^3})]=-2/3$

$C=lim_{p->2}[\frac{1}{(3-2)!}d/(dp) ((p-2)^3*\frac{5p^2-15p-11}{(p+1)(p-2)^3})]=4$

$D=lim_{p->2}[(p-2)^3*\frac{5p^2-15p-11}{(p+1)(p-2)^3}]=-7$

Da cui

$Y=\frac{-1/3}{p+1}+\frac{-2/3}{p-2}+\frac{4}{(p-2)^2}+\frac{-7}{(p-2)^3}$

ottenendo $y(x)=L^(-1)(Y)=[-1/3e^{-x}-2/3e^{2x}+4xe^{2x}-7x^2e^{2x}]H(x)$

Pensi che potrei esserci?

Piccola domanda, il grado del polinomio al numeratore quindi non influisce minimamente sulla determinazione dei fratti? L'importante è ovviamente che sia $°N<=°D+1$