Dubbio e quesiti sui limiti

[androidiano]

Salve a tutti mi è venuto un dubbio durante il calcolo di un limite sia n un numero naturale:

$lim_(n \to \+infty)(1)/(n^(1/n)$

= $lim_(n \to \+infty)(1/n)^(1/n)$

= $lim_(n \to \+infty)root(n)(1/n)$

$1/n$ --> 0 quindi limite = 0 ma è sbagliato! Dove sta l'errore?

la soluzione è

$lim_(n \to \+infty)(1)/(root(n)(n)$

ora $lim_(n \to \+infty)root(n)(n)$ = 1 perchè? $root(n)n$ non è = $n^(1/n)$ quindi forma indeterminata infinito elevato a zero?

Cortesemente mi indicate un qualche sito dove poter trovare tutti i limiti notevoli (non wikipedia) e nel calcolo dei limiti per n -> $+infty$ quali sono i termini che vanno + veloci a infinito (es n! n^n ecc)

grazie in anticipo

[laura1232]

"androidiano":ora $lim_{n\rightarrow +\infty}root{n}{n} = 1$ perchè?

Un modo per dimostrarlo potrebbe essere questo:
Proviamo prima che $\lim_{x\rightarrow +\infty} root{n}{\sqrt{n}}=1$.
se $n>1$ allora $root{n}{\sqrt{n}}>1$ quindi $root{n}{\sqrt{n}}-1>0$. Sia $y_n=root{n}{\sqrt{n}}-1$ quindi
$
root{n}{\sqrt{n}}=1+y_n
$
da cui
$
\sqrt{n}=(1+y_n)^n\geq 1+ny_n
$
(la precedente segue dalla disuguaglianza di Bernulli) quindi
$
0 $
dal teorema del confronto segue $\lim_{x\rightarrow +\infty} y_n=0$ quindi $\lim_{x\rightarrow +\infty} root{n}{\sqrt{n}}=1$.
Per concludere basta osservare che
$\lim_{x\rightarrow +\infty} root{n}{n}=\lim_{x\rightarrow +\infty} (root{n}{\sqrt{n}})^2=1$

[Brancaleone1]

Usa la gerarchia degli infiniti:

$lim_(n->+oo) 1/(n^(1/n)) = n^(-1/n)$

L'esponente tende $0$ più velocemente di quanto la base tende a $+oo$, quindi il risultato è $1$.

[ostrogoto1]

Un'altra maniera di risolvere il limite potrebbe essere:

$ 1/n^(1/n)=exp(ln(1/n^(1/n)))=exp(-1/nlnn) $
ed essendo $ ln(n)/nrarr0" "nrarr+oo $ il limite proposto e' 1.

[androidiano]

grazie a tutti