Dubbio Dominio Funzione integrale.
Ciao a tutti ragazzi; sn di nuovo alle prese con l'analisi.Devo studiare la seguente funzione integrale:
$int_(0)^(x) arctg (sqrt(t)/(sqrt(t+1)))$; potreste aiutarmi a studiarne il dominio?Il dominio della funzione integranda è $]-infty,-1[ U [0,+infty[$ sicuramente il secondo intervallo va considerato il mio problema sta nel primo intervallo ovvero quando fisso un $x<-1$....grazie 1000atutti quelli che mi aiuteranno.
$int_(0)^(x) arctg (sqrt(t)/(sqrt(t+1)))$; potreste aiutarmi a studiarne il dominio?Il dominio della funzione integranda è $]-infty,-1[ U [0,+infty[$ sicuramente il secondo intervallo va considerato il mio problema sta nel primo intervallo ovvero quando fisso un $x<-1$....grazie 1000atutti quelli che mi aiuteranno.
Risposte
"identikit_man":
Ciao a tutti ragazzi; sn di nuovo alle prese con l'analisi.Devo studiare la seguente funzione integrale:
$int_(0)^(x) arctg (sqrt(t)/(sqrt(t+1)))$; potreste aiutarmi a studiarne il dominio?Il dominio della funzione integranda è $]-infty,-1[ U [0,+infty[$ sicuramente il secondo intervallo va considerato il mio problema sta nel primo intervallo ovvero quando fisso un $x<-1$....grazie 1000atutti quelli che mi aiuteranno.
Il dominio di questa funzione integrale è $[0,+oo[$. Ovvero l'insieme $RR$ positivo incluso anche lo 0. Ciò lo puoi benissimo capire dal fatto che nell'argomento dell'arcotangente al numeratore hai una radice quadrata e perciò deve essere positivo il dominio
Si infatti il dominio è proprio quello.Solo che nn riesco a capire il xkè...l'argomento dell'arctg è definito per $t<-1$ o $t>0$ ora se io fisso un $x<-1$ allora allora largomento della radice risulta essere positivo in quanto numeratore e denominatore sn entrambi negativi.
"identikit_man":
Si infatti il dominio è proprio quello.Solo che nn riesco a capire il xkè...l'argomento dell'arctg è definito per $t<-1$ o $t>0$ ora se io fisso un $x<-1$ allora allora largomento della radice risulta essere positivo in quanto numeratore e denominatore sn entrambi negativi.
ecco dove sta l'errore. l'argomento dell'arcotangente è definito per $t>0$. Non può essere definito per $t<-1$.Cosa succederebbe se sostituissi $-2$ all'argomento dell'arcotangente?
concordo con mazzy89, il Dominio della funzione integranda non è quello che hai scritto te, bensì solo $[0,+\infty)$
Se nn sbaglio l'arctg è definita per qualunque valore; il problema è della radice io per trovarte il domino ho risolto il seguente sistema:
$\{(t+1!=0),(t/(t+1)>=0):}$.Da cui ho ottenuto quei 2 intervalli.
$\{(t+1!=0),(t/(t+1)>=0):}$.Da cui ho ottenuto quei 2 intervalli.
"identikit_man":
Se nn sbaglio l'arctg è definita per qualunque valore; il problema è della radice io per trovarte il domino ho risolto il seguente sistema:
$\{(t+1!=0),(t/(t+1)>=0):}$.Da cui ho ottenuto quei 2 intervalli.
Stai attento il risultato di questo sistema è: $t>=0$ con $t!=-1$
Allora se nn sbaglio la disequazione $t/(t+1)$ ha come soluzione $t<-1$ $t>=0$ giusto?
"identikit_man":
Allora se nn sbaglio la disequazione $t/(t+1)$ ha come soluzione $t<-1$ $t>=0$ giusto?
esattamente
il problema è che te devi vedere per quali valori esiste l'argomento della funzione (in questo caso l'arcotangente), e come hai detto te, l'arcotangente esiste per qualsiasi valore. Quindi il problema ora diventa: quand'è che esiste (ed è sensata) l'argomento di quest'arcotangente?
Il denominatore ti dà $t >= -1$ mentre il numeratore ti da $t >= o$, il che è una restrizione ancora maggiore, giusto?
Quindi in definitiva devi prendere questo intervallo come Dominio della funzione integranda. Non ha importanza fare tutto quel sistema.
Il denominatore ti dà $t >= -1$ mentre il numeratore ti da $t >= o$, il che è una restrizione ancora maggiore, giusto?
Quindi in definitiva devi prendere questo intervallo come Dominio della funzione integranda. Non ha importanza fare tutto quel sistema.
"FainaGimmi":
il problema è che te devi vedere per quali valori esiste l'argomento della funzione (in questo caso l'arcotangente), e come hai detto te, l'arcotangente esiste per qualsiasi valore. Quindi il problema ora diventa: quand'è che esiste (ed è sensata) l'argomento di quest'arcotangente?
Il denominatore ti dà $t >= -1$ mentre il numeratore ti da $t >= o$, il che è una restrizione ancora maggiore, giusto?
Quindi in definitiva devi prendere questo intervallo come Dominio della funzione integranda. Non ha importanza fare tutto quel sistema.
Concordo pienamente con fainagimmi
Allora forse mi sto confondendo un pò: il dominio della funzione integranda è $]-infty,-1[ U [0,+infty[$; invece quello della funzione integrale è $[0,+infty[$ giusto?
"identikit_man":
Allora forse mi sto confondendo un pò: il dominio della funzione integranda è $]-infty,-1[ U [0,+infty[$; invece quello della funzione integrale è $[0,+infty[$ giusto?
Sia il dominio della funzione integranda sia quello della funzione integrale è: $[0,+oo)$
Scusa nn è per essere insistente; ma sn un pò testa dura e le cose mi piace discuterle; io ho provato a disegnare il grafico delle funzione integranda con derive e il dominio mi risulta essere quello scritto prima.Come mai?
Ci sono due punti da mettere in evidenza.
1) L'argomento dell'arcotangente - per quanto capisco - e' $\sqrt{t}/\sqrt{1+t}$ e non $sqrt{\frac{t}{1+t}}$. Ne segue che l'integrando e' definito solo se entrambi i radicali sono definiti e cioe' se
$t\geq 0$. Se fosse stato $\sqrt{\frac{t}{1+t}}$ allora il dominio dell'integrando sarebbe stato $(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)$
2) Dal punto 1) segue che il dominio della funzione integrale e' $[0,+\infty)$.
PERO' , anche se fossimo stati nel secondo caso il dominio della funzione integrale NON sarebbe cambiato.
Infatti il dominio della funzione integrale e' l'insieme delle $x$ per cui l'integrando e' integrabile (perdonate la cacofonia) sull'intervallo di estremi $x$ e $0$. Ora se $x<0$ questo non puo'
avvenire dato che il dominio dell'integrando "ha un buco" a sinistra di zero
1) L'argomento dell'arcotangente - per quanto capisco - e' $\sqrt{t}/\sqrt{1+t}$ e non $sqrt{\frac{t}{1+t}}$. Ne segue che l'integrando e' definito solo se entrambi i radicali sono definiti e cioe' se
$t\geq 0$. Se fosse stato $\sqrt{\frac{t}{1+t}}$ allora il dominio dell'integrando sarebbe stato $(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)$
2) Dal punto 1) segue che il dominio della funzione integrale e' $[0,+\infty)$.
PERO' , anche se fossimo stati nel secondo caso il dominio della funzione integrale NON sarebbe cambiato.
Infatti il dominio della funzione integrale e' l'insieme delle $x$ per cui l'integrando e' integrabile (perdonate la cacofonia) sull'intervallo di estremi $x$ e $0$. Ora se $x<0$ questo non puo'
avvenire dato che il dominio dell'integrando "ha un buco" a sinistra di zero
"ViciousGoblin":
Ci sono due punti da mettere in evidenza.
1) L'argomento dell'arcotangente - per quanto capisco - e' $\sqrt{t}/\sqrt{1+t}$ e non $sqrt{\frac{t}{1+t}}$. Ne segue che l'integrando e' definito solo se entrambi i radicali sono definiti e cioe' se
$t\geq 0$. Se fosse stato $\sqrt{\frac{t}{1+t}}$ allora il dominio dell'integrando sarebbe stato $(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)$
2) Dal punto 1) segue che il dominio della funzione integrale e' $[0,+\infty)$.
PERO' , anche se fossimo stati nel secondo caso il dominio della funzione integrale NON sarebbe cambiato.
Infatti il dominio della funzione integrale e' l'insieme delle $x$ per cui l'integrando e' integrabile (perdonate la cacofonia) sull'intervallo di estremi $x$ e $0$. Ora se $x<0$ questo non puo'
avvenire dato che il dominio dell'integrando "ha un buco" a sinistra di zero
Perfetto viciousGoblin ha fatto chiarezza sulla questione.Avevo dei dubbi su come era stata scritta la funzione
Allora raga +è tutto chiarito ho sbagliato io a scrivere la funzione in quanto è $arctg sqrt(x/(x+1))$ e quindi proprio per questo motivo a me veniva quel risultato.Errore mio.
"identikit_man":
Allora raga +è tutto chiarito ho sbagliato io a scrivere la funzione in quanto è $arctg sqrt(x/(x+1))$ e quindi proprio per questo motivo a me veniva quel risultato.Errore mio.
Ecco allora mistero svelato.Infatti c'era qualcosa che non mi convinceva nella scrittura.Perchè i tuoi calcoli erano giusti i miei lo erano anche ma qualcosa non andava
"identikit_man":
Allora raga +è tutto chiarito ho sbagliato io a scrivere la funzione in quanto è $arctg sqrt(x/(x+1))$ e quindi proprio per questo motivo a me veniva quel risultato.Errore mio.
Comunque ti torna che, anche se' il dominio dell'integrando e' $(-\infty,-1)\cup[0,+infty)$, il dominio della funzione integrale e' $[0,+\infty)$ ?
Questo mi pare il punto cruciale dell'esercizio.
scusate ragazzi, ma anche se ora la funzione è $arctg((sqrt(x))/(x + 1)$, il dominio risulta sempre essere $[0,+infty)$, no? Anche perchè, da come sritto da voi, csa succederebbe se al posto della $x$ sostituissimo $-2$? Vorrei far notare che la radice è quadrata, non cubica!! (magari mi sto confondendo io, il che, data l'ora è possibile...)
Allora per il fatto del dominio della funzione integrale penso di averlo capito anke.Praticamente se io fisso un $x=-2$ allora posso suddividere l'integrale di partenza come segue: $-int_(-2)^(-1/2) -int_(-1/2)^(0)$ pero tuttavia entrambi gli integrali nn esistono in quanto la funzione integranda nn è definita in quei intervalli.E' giusto il mio ragionamento?
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