Dubbio disequazione valore assoluto
Ciao a tutti, mi è venuto questo dubbio (banale 
) per quanto riguarda le disequazioni con valore assoluto, ad esempio:
$ |x|-xsqrt(2x+1)>=0 $
Da cui
$ { ( x-xsqrt(2x+1)>=0 ),( x>=0 ):} uu { ( -x-xsqrt(2x+1)>=0 ),( x<0 ):} $
Prendiamo ad esempio il primo sistema, e in particolare la prima disequazione:
$ x-xsqrt(2x+1)>=0=>x>=xsqrt(2x+1) $ Quello che mi chiedo io è: dal momento che risulta $ x>=0 $ è lecito dividere per $ x $?
Se sì, non lo sarebbe stato se $ |x|-xsqrt(2x+1)>=0 $ fosse stata $ |x|-xsqrt(2x+1)>0 $?
Grazie in anticipo
) per quanto riguarda le disequazioni con valore assoluto, ad esempio:$ |x|-xsqrt(2x+1)>=0 $
Da cui
$ { ( x-xsqrt(2x+1)>=0 ),( x>=0 ):} uu { ( -x-xsqrt(2x+1)>=0 ),( x<0 ):} $
Prendiamo ad esempio il primo sistema, e in particolare la prima disequazione:
$ x-xsqrt(2x+1)>=0=>x>=xsqrt(2x+1) $ Quello che mi chiedo io è: dal momento che risulta $ x>=0 $ è lecito dividere per $ x $?
Se sì, non lo sarebbe stato se $ |x|-xsqrt(2x+1)>=0 $ fosse stata $ |x|-xsqrt(2x+1)>0 $?
Grazie in anticipo
Risposte
Ti consiglio di procedere cercando di minimizzare i passaggi:
$|x|-xsqrt(2x+1) gt= 0 rarr$
$rarr xsqrt(2x+1) lt= |x| rarr$
$rarr \{(2x+1 gt= 0),(x lt= 0):} vv \{(x gt 0),(2x+1 lt= 1):} rarr$
$rarr \{(x gt= -1/2),(x lt= 0):} vv \{(x gt 0),(x lt= 0):} rarr$
$rarr -1/2 lt= x lt= 0$
Certamente, facendo attenzione a non perdere $[x=0]$ come soluzione.
$|x|-xsqrt(2x+1) gt= 0 rarr$
$rarr xsqrt(2x+1) lt= |x| rarr$
$rarr \{(2x+1 gt= 0),(x lt= 0):} vv \{(x gt 0),(2x+1 lt= 1):} rarr$
$rarr \{(x gt= -1/2),(x lt= 0):} vv \{(x gt 0),(x lt= 0):} rarr$
$rarr -1/2 lt= x lt= 0$
"SharpEdges":
$x-xsqrt(2x+1)>=0=>x>=xsqrt(2x+1)$
Quello che mi chiedo io è: dal momento che risulta $x>=0$ è lecito dividere per $x$?
Certamente, facendo attenzione a non perdere $[x=0]$ come soluzione.
Ciao Sergeant e grazie per la risposta, sono consapevole del fatto che avrei potuto farlo, però quello era un esempio inventato da me per capire se fosse appunto possibile dividere per l'incognita in quelle condizioni.
E a ben vedere dai passaggi che hai svolto sembrerebbe di sì.
E a ben vedere dai passaggi che hai svolto sembrerebbe di sì.
Ho completato. 
Ottimo.
"SharpEdges":
... sono consapevole del fatto che avrei potuto farlo ...
Ottimo.
Perfetto, grazie mille! Ultima cosa, se invece la disequazione avesse avuto il maggiore stretto, essendo x>=0, cosa sarebbe cambiato? Perchè in questo caso lo 0 potrebbe dar fastidio..
Ti faccio un esempio. Supponi di dover risolvere la seguente disequazione:
$(x-1)^2(x-7) gt= (x-1)^2(1-3x)$
Osservando che $[(x-1)^2 gt= 0]$, puoi procedere più agevolmente semplificando:
$[x-7 gt= 1-3x] ^^ [x ne 1] rarr [x gt= 2] ^^ [x ne 1]$
dove la condizione $[x ne 1]$ sta a ricordarti che la semplificazione è lecita se e solo se $[x ne 1]$. Nel caso in cui $[x=1]$, la semplificazione non è lecita e potresti perdere una soluzione. Infatti:
$[(x-1)^2(x-7) gt= (x-1)^2(1-3x)] ^^ [x=1] rarr [0 gt= 0]$
Ovviamente, se la disequazione fosse stata la seguente:
$(x-1)^2(x-7) gt (x-1)^2(1-3x)$
non avresti perso alcuna soluzione:
$[(x-1)^2(x-7) gt (x-1)^2(1-3x)] ^^ [x=1] rarr [0 gt 0]$
Insomma, quando si dividono entrambi i membri di un'equazione o di una disequazione per un'espressione dipendente da $x$ che può valere $0$ per un qualche valore di $x$ medesimo, è necessario prestare la dovuta attenzione. Giova sottolineare che, nel caso di una disequazione, è necessario prestare attenzione anche al segno dell'espressione per cui si semplifica. Si tratta del 2° principio di equivalenza per le equazioni e le disequazioni.
$(x-1)^2(x-7) gt= (x-1)^2(1-3x)$
Osservando che $[(x-1)^2 gt= 0]$, puoi procedere più agevolmente semplificando:
$[x-7 gt= 1-3x] ^^ [x ne 1] rarr [x gt= 2] ^^ [x ne 1]$
dove la condizione $[x ne 1]$ sta a ricordarti che la semplificazione è lecita se e solo se $[x ne 1]$. Nel caso in cui $[x=1]$, la semplificazione non è lecita e potresti perdere una soluzione. Infatti:
$[(x-1)^2(x-7) gt= (x-1)^2(1-3x)] ^^ [x=1] rarr [0 gt= 0]$
Ovviamente, se la disequazione fosse stata la seguente:
$(x-1)^2(x-7) gt (x-1)^2(1-3x)$
non avresti perso alcuna soluzione:
$[(x-1)^2(x-7) gt (x-1)^2(1-3x)] ^^ [x=1] rarr [0 gt 0]$
Insomma, quando si dividono entrambi i membri di un'equazione o di una disequazione per un'espressione dipendente da $x$ che può valere $0$ per un qualche valore di $x$ medesimo, è necessario prestare la dovuta attenzione. Giova sottolineare che, nel caso di una disequazione, è necessario prestare attenzione anche al segno dell'espressione per cui si semplifica. Si tratta del 2° principio di equivalenza per le equazioni e le disequazioni.
Chiarissimo, grazie mille
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