Dubbio di calcolo
Ragazzi sto facendo un dominio e mi trovo un equazione di questo tipo.
$x!=elogx$
...Non riesco a venirne a capo se faccio $ e^(logx)!=logx^e$ non hanno la stessa base giusto?... probabilmente sto dimenticando qualche proprietà elementare, praticamente dovrei trasformare $elogx$ in una x per metterla in evidenza con l'altra...
Un aiutino piccino piccino? Se faccio $xloge != elogx$ ho $ e^x != x^e$ giusto? Ad intuito dico $x!=e$ ma con in calcoli come posso fare ad esserne sicuro?
$x!=elogx$
...Non riesco a venirne a capo se faccio $ e^(logx)!=logx^e$ non hanno la stessa base giusto?... probabilmente sto dimenticando qualche proprietà elementare, praticamente dovrei trasformare $elogx$ in una x per metterla in evidenza con l'altra...
Un aiutino piccino piccino? Se faccio $xloge != elogx$ ho $ e^x != x^e$ giusto? Ad intuito dico $x!=e$ ma con in calcoli come posso fare ad esserne sicuro?
Risposte
Fai un grafico. Algebricamente non arriverai mai da nessuna parte. Però il problema è più semplice di quanto tu non creda.
il grafico elementare di elogx lo devo vedere come il grafico di logx traslato di e rispetto all'asse x?
Assolutamente no. Non stai traslando, stai moltiplicando per una costante.
ok quindi in tralso, ma il grafico lo considero spostato a destra di e? quindi il $elogx$ passa per e?
il grafico lo considero spostato a destra di $e$Ma no!!! Questo significherebbe traslare. Vatti a leggere questa paginetta:
http://www.batmath.it/matematica/a_graf ... afelem.htm
Grazie mille mi è stato molto utile, nessuno mai mi aveva spiegato come fare questi grafici elementari...
Ok. Fatto questo, il tuo problema originario è di facile soluzione. Guarda, ti disegno io il grafico, così ti puoi rendere conto:
[asvg]xmin=0; xmax=8; axes(); plot("exp(1)*log(x)"); stroke="red"; plot("x");[/asvg]
[asvg]xmin=0; xmax=8; axes(); plot("exp(1)*log(x)"); stroke="red"; plot("x");[/asvg]
Quindi cosi facendo ho trovato che il $y=elogx$ è tangente a $y=x$ , quindi la mia equazione è verificata per tutti i valori tranne quello in comune., Visto che a me serve proprio quello in comune
(perché l'equazione deriva da un denominatore) ma ancora non arrivo a capire come faccio a prendere il valore che devo togliere dal dominio.
devo fare il sistema ${(y=x),(y=elogx):} -> {(e=x/logx), (y=x):}$ ?
Dal tuo grafico senza numeri deduco che il punto di tangenza è comunque $A= (e , e)$ quindi comunque $x!=e$, ma sono comunque osservazioni basate sull'osservazione.xd
(perché l'equazione deriva da un denominatore) ma ancora non arrivo a capire come faccio a prendere il valore che devo togliere dal dominio.
devo fare il sistema ${(y=x),(y=elogx):} -> {(e=x/logx), (y=x):}$ ?
Dal tuo grafico senza numeri deduco che il punto di tangenza è comunque $A= (e , e)$ quindi comunque $x!=e$, ma sono comunque osservazioni basate sull'osservazione.xd
Esatto: l'unico punto in cui è soddisfatta l'equazione $x=elogx$ è proprio $x=e$. Ed è una cosa che non si può ricavare algebricamente, come detto ad inizio thread. Diciamo che, in questo caso, siamo stati fortunati e abbiamo potuto ricavare l'unica soluzione in modo esplicito, in generale ce la saremmo dovuta tenere così o tuttalpiù approssimarla con un metodo numerico.
Una domanda però. Per quale motivo la funzione $elogx$ ha con una retta tangente al suo grafico un solo punto di contatto? Certamente è vero, si vede dal disegno. Ma non è vero per tutte le funzioni, prendi ad esempio questa:
[asvg]xmin=-12; xmax=12; ymin=-1; ymax=1;axes(); xmin=-15; xmax=15;plot("sin(x)/x"); stroke="red"; plot("sin(5/2*3.14)/(5/2*3.14)");[/asvg]
Vedi come la retta tangente rossa interseca allegramente il grafico in parecchi punti? Questo fenomeno invece non succede per la funzione $elogx$, e ciò è dovuto ad una importantissima proprietà di natura geometrica del suo grafico. Qual è questa proprietà?
Una domanda però. Per quale motivo la funzione $elogx$ ha con una retta tangente al suo grafico un solo punto di contatto? Certamente è vero, si vede dal disegno. Ma non è vero per tutte le funzioni, prendi ad esempio questa:
[asvg]xmin=-12; xmax=12; ymin=-1; ymax=1;axes(); xmin=-15; xmax=15;plot("sin(x)/x"); stroke="red"; plot("sin(5/2*3.14)/(5/2*3.14)");[/asvg]
Vedi come la retta tangente rossa interseca allegramente il grafico in parecchi punti? Questo fenomeno invece non succede per la funzione $elogx$, e ciò è dovuto ad una importantissima proprietà di natura geometrica del suo grafico. Qual è questa proprietà?
Mi trovi al quanto impreparato però sul logx so che la funzione ( con base maggiore di zero) è monotona crescente passa per il punto 1,0...ma non penso c'entri...Proprietà di natura geometrica guardando il grafico non mi viene in mente nulla. Xd
Monotona crescente non significa niente. Prendi questa funzione monotona crescente:
[asvg]xmin=0; xmax=30; ymin=0; ymax=50; axes(); plot("x*(sin(x)/20+1.5)");stroke="red"; plot("1.5*x");[/asvg]
Vedi quante volte la retta tangente al grafico nell'origine interseca il grafico stesso? Per non parlare di un esempio ancora più estremo: una funzione lineare ha per grafico una retta, quindi la retta tangente al proprio grafico è addirittura coincidente con il grafico stesso.
Insomma, non è questione di monotonia. E' una proprietà più fine, che per funzioni derivabili riguarda derivate di ordine più grande.
[asvg]xmin=0; xmax=30; ymin=0; ymax=50; axes(); plot("x*(sin(x)/20+1.5)");stroke="red"; plot("1.5*x");[/asvg]
Vedi quante volte la retta tangente al grafico nell'origine interseca il grafico stesso? Per non parlare di un esempio ancora più estremo: una funzione lineare ha per grafico una retta, quindi la retta tangente al proprio grafico è addirittura coincidente con il grafico stesso.
Insomma, non è questione di monotonia. E' una proprietà più fine, che per funzioni derivabili riguarda derivate di ordine più grande.
Se derivo $log(x)$ ho $1/x$ che se derivo ancora ho $-1/x^2$ derivato ancora fa $-2x/x^4$ da questo cosa possiamo dire le derivate vanno ad infinito più velocemente?
Ma no!!! Che stai dicendo? Mai sentito parlare di convessità e concavità?
Certo che si,( e comunque quella di prima era solo una supposizione fatta perchè non sapevo di cosa stavamo parlando) comunque , da come l'ho studiata io ( ovviamente in maniere teorica ma ora te la spiego in parole normale) , Una funzione è convcava o convessa se tracciata una retta secante, la funzione si trova tutta al di sopra o al di sotto di questa.
Cioè è convessa se $fx>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
concava se $ fx
Ma queste ripeto sono supposizioni.
Cioè è convessa se $fx>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
concava se $ fx
Ma queste ripeto sono supposizioni.
Quando una funzione è concava o convessa, il proprio grafico "sta tutto dalla stessa parte" di ogni retta tangente. Al di sopra nel caso di funzioni convesse, al di sotto nel caso di funzioni concave. Questo vale strettamente se le funzioni sono strettamente convesse o strettamente concave. In particolare il grafico di una funzione strettamente concava come $elog x$ interseca le proprie rette tangenti in uno ed un solo punto.
Quindi ho supposto bene, quindi ritornando al discorso precedente, se ho una funzione abbastanza elementare da essere sicuro su tipo di grafico allora in una situazione come quella precedente posso dire che ha una sola soluzione, altrimenti no quindi dovevamo approssimare tutto con dei calcoli...
Si hai supposto bene ma ti sei espresso molto male però, stai attento al linguaggio. Un professore di matematica non avrebbe mai accettato una risposta così.
Comunque, sì, in questo caso la proprietà di stretta concavità di $elog x$ ci permette di concludere analiticamente.
Comunque, sì, in questo caso la proprietà di stretta concavità di $elog x$ ci permette di concludere analiticamente.
Ok grazie non ho piu domande,per ora...
Solo una un pò OT, come li hai fatti quei grafici che hai postato?
Solo una un pò OT, come li hai fatti quei grafici che hai postato?
Figo...grazie
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