Dubbio derivate

[ciccio.9511]

Salve ragazzi,mi servirebbe una mano :



Fino alla derivata seconda arrivo senza problemi,però dalla terza in poi faccio confusione e non riesco a ricondurla in quella forma...Avete qualche consiglio?

[wall87]

Devi solo applicare la regola per le derivate del quoziente:

\( y=\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)

[ciccio.9511]

"wall87":Devi solo applicare la regola per le derivate del quoziente:

\( y=\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow y'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)

Si questo lo so; tuttavia non sono riuscito a riportarlo nella forma della soluzione presente sopra.

[Ernesto011]

Hai provato a vedere se, nella forma che hai ottenuto, riesci a dividere il numeratore per $1+x^4$?

[pilloeffe]

Ciao ciccio.95,

Una volta arrivato qui:

$f'(x) = f^{(1)}(x) = frac{4x^3}{x^4 + 1} $

La scriverei nella forma seguente:

$ f^{(1)}(x) = 4x^3 \cdot (x^4 + 1)^{-1} $

Poi applicherei la regola di derivazione del prodotto invece di quella del quoziente:

$ f^{(2)}(x) = 12x^2 \cdot (x^4 + 1)^{-1} - (x^4 + 1)^{-2} \cdot 16x^6 = frac{12x^6 + 12x^2 - 16x^6}{(x^4 + 1)^2} = $
$ = 4 frac{3x^2 - x^6}{(x^4 + 1)^2} = (12x^2 - 4x^6) \cdot (x^4 + 1)^{- 2} $

$ f^{(3)}(x) = (24x - 24x^5) \cdot (x^4 + 1)^{-2} - 2(x^4 + 1)^{-3} \cdot (48x^5 - 16x^9) = $
$ = frac{(24x - 24x^5)(x^4 + 1) - 96x^5 + 32x^9}{(x^4 + 1)^3} = 8 frac{3x - 12x^5 + x^9}{(x^4 + 1)^3} = $
$ = (24x - 96x^5 + 8x^9)\cdot (x^4 + 1)^{-3} $

e così via...