Dubbio derivata di una funzione (integrale)
ciao a tutti,
vorrei chiedervi chiarimenti sulla derivata di una funzione.
la funzione è questa:
$F(x,y) = \int_{\alpha(x)}^{y} dt N(x,t)$
dove $F$, $\alpha$, $N$, sono funzioni "buone", cioè di classe $C^k$, con $k$ sufficientemente grande.
voglio scrivere $d/dx F$ e $d/dy F$.
per vedere meglio le cose, io preferisco scrivere questo passaggio prima: $F(x,y) = \int_{\alpha(x)}^{y} dt N(x,t) = \int_{0}^{y} dt N(x,t) - \int_{0}^{\alpha(x)} dt N(x,t)$
e quindi ottengo:
$d/dy F = N(x,y)$
$d/dx F = \int_{0}^{y} dt \partial_x N(x,t) - N(x, \alpha(x))\alpha'(x) - \int_{0}^{\alpha(x)} dt \partial_x N(x,t) = \int_{\alpha(x)}^{y} dt \partial_x N(x,t) - N(x, \alpha(x))\alpha'(x)$
sono sicuro sulla derivata rispetto ad $y$, ma non lo sono affatto sulla derivata rispetto a $x$...
potreste aiutarmi a capire dove sta l'errore che sicuramente c'è?
grazie in anticipo per l'aiuto
vorrei chiedervi chiarimenti sulla derivata di una funzione.
la funzione è questa:
$F(x,y) = \int_{\alpha(x)}^{y} dt N(x,t)$
dove $F$, $\alpha$, $N$, sono funzioni "buone", cioè di classe $C^k$, con $k$ sufficientemente grande.
voglio scrivere $d/dx F$ e $d/dy F$.
per vedere meglio le cose, io preferisco scrivere questo passaggio prima: $F(x,y) = \int_{\alpha(x)}^{y} dt N(x,t) = \int_{0}^{y} dt N(x,t) - \int_{0}^{\alpha(x)} dt N(x,t)$
e quindi ottengo:
$d/dy F = N(x,y)$
$d/dx F = \int_{0}^{y} dt \partial_x N(x,t) - N(x, \alpha(x))\alpha'(x) - \int_{0}^{\alpha(x)} dt \partial_x N(x,t) = \int_{\alpha(x)}^{y} dt \partial_x N(x,t) - N(x, \alpha(x))\alpha'(x)$
sono sicuro sulla derivata rispetto ad $y$, ma non lo sono affatto sulla derivata rispetto a $x$...
potreste aiutarmi a capire dove sta l'errore che sicuramente c'è?
grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Facciamo il caso generale:
$\int_(\beta(x))^(\alpha(x))f(x,t)dt=F(x,\alpha(x))-F(x,\beta(x))$ dove
$F$ è la primitiva.
Ora $F$ appare a tutti gli effetti come una funzione di due variabili e quindi applichiamo la derivazione composta.
$(\partial)/(\partial x) [F(x,\alpha(x))-F(x,\beta(x))]=(\partial)/(\partial x) [F(x,\alpha(x))-F(x,\beta(x))]+f(x,\alpha(x))\alpha'(x)-f(x,\beta(x))\beta'(x)$.
C'è poi da dire che la derivata parziale della primitiva può passare sotto al segno di integrale a determinate condizioni (quali ? funzione continua a tratti ?) semplificando i calcoli.
$\int_(\beta(x))^(\alpha(x))f(x,t)dt=F(x,\alpha(x))-F(x,\beta(x))$ dove
$F$ è la primitiva.
Ora $F$ appare a tutti gli effetti come una funzione di due variabili e quindi applichiamo la derivazione composta.
$(\partial)/(\partial x) [F(x,\alpha(x))-F(x,\beta(x))]=(\partial)/(\partial x) [F(x,\alpha(x))-F(x,\beta(x))]+f(x,\alpha(x))\alpha'(x)-f(x,\beta(x))\beta'(x)$.
C'è poi da dire che la derivata parziale della primitiva può passare sotto al segno di integrale a determinate condizioni (quali ? funzione continua a tratti ?) semplificando i calcoli.
ringrazio entrambi.
alla domanda di quinzio "[...] la derivata parziale della primitiva può passare sotto al segno di integrale a determinate condizioni (quali ? funzione continua a tratti ?)" effettivamente io non so rispondere. so che le funzioni in questione sono almeno di classe $C^1$, in particolare £N£ e $\alpha$ sono almeno di classe $C^1$.
il punto ora è...
se ho scritto bene, sto sicuramente tralasciando qualcosa, perchè il libro inverte i segni di entrambi i termini a destra in questa scrittura:
$d/dx F = \int_{\alpha(x)}^{y} dt \partial_x N(x,t) - N(x, \alpha(x))\alpha'(x)$
datemi un attimo, e vi fornisco più informazioni
alla domanda di quinzio "[...] la derivata parziale della primitiva può passare sotto al segno di integrale a determinate condizioni (quali ? funzione continua a tratti ?)" effettivamente io non so rispondere. so che le funzioni in questione sono almeno di classe $C^1$, in particolare £N£ e $\alpha$ sono almeno di classe $C^1$.
il punto ora è...
se ho scritto bene, sto sicuramente tralasciando qualcosa, perchè il libro inverte i segni di entrambi i termini a destra in questa scrittura:
$d/dx F = \int_{\alpha(x)}^{y} dt \partial_x N(x,t) - N(x, \alpha(x))\alpha'(x)$
datemi un attimo, e vi fornisco più informazioni
3 pagine del libro "analisi matematica 2" di "enrico giusti": https://www.dropbox.com/s/gndi8xlxe6otaat/output.pdf
in queste pagine c'è la dimostrazione del teorema di gauss-green nel caso di una forma differenziale di due componenti.
nella seconda pagina, viene introdotta la funzione $F$ che ho indicato nel primo post in questa discussione. subito sotto, c'è la derivata rispetto a $x$.
come potete vedere, i segni sono invertiti...
io non comprendo la ragione per cui debbano essere invertiti :\
cioè per me è un errore.
in queste pagine c'è la dimostrazione del teorema di gauss-green nel caso di una forma differenziale di due componenti.
nella seconda pagina, viene introdotta la funzione $F$ che ho indicato nel primo post in questa discussione. subito sotto, c'è la derivata rispetto a $x$.
come potete vedere, i segni sono invertiti...
io non comprendo la ragione per cui debbano essere invertiti :\
cioè per me è un errore.
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