Dubbio derivata di un integrale generalizzato
Buona sera a tutti 
Studiando mi è sorto un dubbio che vorrei risolvere. Derivando una funzione integrale ( ad. esp $f(x)= \int_{-\infty\}^{x} e^(-t^2)\ dt $ ) ottengo $ f^{\prime}(x)=e^(-x^2) - lim_(x -> -\infty\) e^(-x^2) = e^(-x^2) $ . è giusto come ragionamento ? Grazie in anticipo
Studiando mi è sorto un dubbio che vorrei risolvere. Derivando una funzione integrale ( ad. esp $f(x)= \int_{-\infty\}^{x} e^(-t^2)\ dt $ ) ottengo $ f^{\prime}(x)=e^(-x^2) - lim_(x -> -\infty\) e^(-x^2) = e^(-x^2) $ . è giusto come ragionamento ? Grazie in anticipo
Risposte
No: il secondo termine, quello con il limite, non ci deve essere.
L'unico motivo rigoroso per cui lo motiverei è che la definizione è così.
L'estremo inferiore non dipende dalla variabile \(x\) quindi non "appare nella derivata".
Altrimenti, pensa che una variazione di tale estremo non può modificare la derivata, semmai aggiunge solo una costante alla funzione.
L'unico motivo rigoroso per cui lo motiverei è che la definizione è così.
L'estremo inferiore non dipende dalla variabile \(x\) quindi non "appare nella derivata".
Altrimenti, pensa che una variazione di tale estremo non può modificare la derivata, semmai aggiunge solo una costante alla funzione.
\[f\left( x \right) = \int_{a\left( x \right)}^{b\left( x \right)} {g\left( t \right){\rm{d}}t} \]
\[f'\left( x \right) = g\left[ {b\left( x \right)} \right] \cdot b'\left( x \right) - g\left[ {a\left( x \right)} \right] \cdot a'\left( x \right)\]
quindi (lasciami passare la notazione non proprio rigorosa del secondo termine)
\[f'\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}} \cdot 1 - {e^{{\infty ^2}}} \cdot 0 = {e^{ - {x^2}}}\]
EDIT:
No, la costante in questione è sempre nulla
\[f'\left( x \right) = g\left[ {b\left( x \right)} \right] \cdot b'\left( x \right) - g\left[ {a\left( x \right)} \right] \cdot a'\left( x \right)\]
quindi (lasciami passare la notazione non proprio rigorosa del secondo termine)
\[f'\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}} \cdot 1 - {e^{{\infty ^2}}} \cdot 0 = {e^{ - {x^2}}}\]
EDIT:
"phaerrax":
Altrimenti, pensa che una variazione di tale estremo non può modificare la derivata, semmai aggiunge solo una costante alla funzione.
No, la costante in questione è sempre nulla
Grazie ad entrambi inanzitutto
Ho ancora un piccolo dubbio. Per quanto riguarda $a^{\prime}(x)$ ( riferito alla risposta di Brancaleone). $a^{\prime}(x)$ non dovrebbe essere $1$?
Ho ancora un piccolo dubbio. Per quanto riguarda $a^{\prime}(x)$ ( riferito alla risposta di Brancaleone). $a^{\prime}(x)$ non dovrebbe essere $1$?
No, perché $-oo$ è assimilabile a un numero, non alla variabile $x$, perciò la sua derivata è nulla 
Si ma se il limite non era nullo? Cioe seguendo questa strada ogni risultato del limite mi si azzera...
Beh ma calcolarsi la derivata con quel limite è sbagliato...
Ma lo richiede l'esercizio 
Comunque forse ci sono. Spezzando l'integrale si ha che $ f(x)=int_(\(-∞))^(o) e^(-t^2) dt \ + int_(0)^(x) e^(-t^2)dt $ . Ora la seconda parte la riscrivo come positiva o negativa in base al valore di $x$ (inverto gli estremi d'integrazione se $x<(0)$ o lascio cosi in caso contrario). Ora calcolo la derivata delle singole parti. Per quanto riguarda la seconda parte la derivata dovrebbe essere comunque uguale indifferentemente dal segno dell'integrale. Tornando alla prima parte se riesco a dimostrare che l'integrale converge posso riscriverlo come un numero e applicando la derivata a quest'ultimo si ha come risultato $0$. Premesso che non ho ancora provato a farlo secondo voi potrebbe funzionare o sbaglio qualcosa?
Comunque forse ci sono. Spezzando l'integrale si ha che $ f(x)=int_(\(-∞))^(o) e^(-t^2) dt \ + int_(0)^(x) e^(-t^2)dt $ . Ora la seconda parte la riscrivo come positiva o negativa in base al valore di $x$ (inverto gli estremi d'integrazione se $x<(0)$ o lascio cosi in caso contrario). Ora calcolo la derivata delle singole parti. Per quanto riguarda la seconda parte la derivata dovrebbe essere comunque uguale indifferentemente dal segno dell'integrale. Tornando alla prima parte se riesco a dimostrare che l'integrale converge posso riscriverlo come un numero e applicando la derivata a quest'ultimo si ha come risultato $0$. Premesso che non ho ancora provato a farlo secondo voi potrebbe funzionare o sbaglio qualcosa?
La derivata di una funzione integrale nella forma
\[
\int_a^xg(x)\,\mathrm{d}x
\]
la cui integranda è continua è \(g(x)\) qualsiasi sia il valore di \(a\in\mathbb R\). Se \(a=-\infty\) come in questo caso, se vuoi farlo rigorosamente scegli un numero \(b\in\mathbb R\) a caso (per il tuo problema, dato che \(e^{-x^2}\) è una bella funzione regolare, se no c'è da stare più attenti) e svolgi l'esercizio come nel tuo ultimo post.
Il termine \(\int_{-\infty}^bg(x)\,\mathrm{d}x\) è una costante e la puoi ignorare ai fini della derivata. Il resto segue da quanto detto sopra.
Certo, l'integrale deve convergere per \(x\to-\infty\): questo assicura ovviamente che l'integrale da tale estremo a \(b\) sia finito, ma se non fosse così ci sarebbero ben più gravi problemi nella definizione della funzione...
\[
\int_a^xg(x)\,\mathrm{d}x
\]
la cui integranda è continua è \(g(x)\) qualsiasi sia il valore di \(a\in\mathbb R\). Se \(a=-\infty\) come in questo caso, se vuoi farlo rigorosamente scegli un numero \(b\in\mathbb R\) a caso (per il tuo problema, dato che \(e^{-x^2}\) è una bella funzione regolare, se no c'è da stare più attenti) e svolgi l'esercizio come nel tuo ultimo post.
Il termine \(\int_{-\infty}^bg(x)\,\mathrm{d}x\) è una costante e la puoi ignorare ai fini della derivata. Il resto segue da quanto detto sopra.
Certo, l'integrale deve convergere per \(x\to-\infty\): questo assicura ovviamente che l'integrale da tale estremo a \(b\) sia finito, ma se non fosse così ci sarebbero ben più gravi problemi nella definizione della funzione...
Gentilissimi grazie mille
Ho ancora una piccola domanda sempre inerente all'argomeno:
considerando per $x>(0)$ la funzione \( f(x)=\int_{x+1}^{2x} cos(1/t)\, dt \) come faccio a calcolare il \( \lim_{x\rightarrow +∞} f(x) \) ? e successivamente come si potrebbe determinare l'Ord a $+∞$? Inizialmente avevo pensato alla media integrale ma trovo una forma indeterminata $0 $ \( \times \) $ (+∞)$. Vi ringrazio in anticipo
Ho ancora una piccola domanda sempre inerente all'argomeno:
considerando per $x>(0)$ la funzione \( f(x)=\int_{x+1}^{2x} cos(1/t)\, dt \) come faccio a calcolare il \( \lim_{x\rightarrow +∞} f(x) \) ? e successivamente come si potrebbe determinare l'Ord a $+∞$? Inizialmente avevo pensato alla media integrale ma trovo una forma indeterminata $0 $ \( \times \) $ (+∞)$. Vi ringrazio in anticipo
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