Dubbio criterio di monotonia
Salve, ho un dubbio sul criterio di monotonia, non sulla dimostrazione o sulla comprensione, ma sull'applicazione pratica del teorema.
Il criterio dice che se f è una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora: $f'(x) >= 0, \forall x \in (a,b) \Leftrightarrow \text{f e' crescente in [a,b]}$.
Nel mio libro di analisi uno successivamente alla dimostrazione fa un esempio con la funzione $x^2$ e dice, poiché la sua derivata è $2x$ ed è positiva per $x > 0$, e negativa per $x < 0$, allora la funzione $x^2$ è decrescente per $x < 0$ e crescente per $x > 0$, e dove in $x = 0$ si trova un punto di minimo.
Ora ho preso questo esempio perché è molto semplice ma arriva direttamente al succo della mia domanda, poiché è pure di facile intuizione il grafico di $x^2$.
Come facciamo a stabilire che per $x > 0$ la funzione $x^2$ è sempre crescente e viceversa decrescente per $x < 0$? Il criterio di monotonia (guardando un po' anche su internet) è lo stesso e dice che presa una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], e prese in considerazione le ipotesi seguenti nel teorema, allora seguono le varie tesi dimostrate e controdimostrate, ma (ripeto) prendono in considerazione un intervallo chiuso e limitato come ho appena messo in evidenza.
$x^2$ è una funzione che per dominio ha R equivalente all'intervallo aperto è illimitato $(-\infty,+infty)$, come facciamo ad applicare le tesi del criterio di monotonia se la funzione $x^2$ non soddisfa le ipotesi della stessa?
E' vero che noi possiamo prendere porzioni chiuse e limitate di questo intervallo, ma per quante possano essere non potranno mai prendere tutto il dominio della funzione e quindi sapere effettivamente come si comporta per tutto l'asse reale la funzione.
So che può sembrare una domanda banale, ma non riesco proprio ad applicare questo teorema alla funzione $x^2$, e poiché analisi è matematica, vorrei trovare un metodo per applicare questo principio per i miei futuri studi di funzione, grazie
Il criterio dice che se f è una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora: $f'(x) >= 0, \forall x \in (a,b) \Leftrightarrow \text{f e' crescente in [a,b]}$.
Nel mio libro di analisi uno successivamente alla dimostrazione fa un esempio con la funzione $x^2$ e dice, poiché la sua derivata è $2x$ ed è positiva per $x > 0$, e negativa per $x < 0$, allora la funzione $x^2$ è decrescente per $x < 0$ e crescente per $x > 0$, e dove in $x = 0$ si trova un punto di minimo.
Ora ho preso questo esempio perché è molto semplice ma arriva direttamente al succo della mia domanda, poiché è pure di facile intuizione il grafico di $x^2$.
Come facciamo a stabilire che per $x > 0$ la funzione $x^2$ è sempre crescente e viceversa decrescente per $x < 0$? Il criterio di monotonia (guardando un po' anche su internet) è lo stesso e dice che presa una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], e prese in considerazione le ipotesi seguenti nel teorema, allora seguono le varie tesi dimostrate e controdimostrate, ma (ripeto) prendono in considerazione un intervallo chiuso e limitato come ho appena messo in evidenza.
$x^2$ è una funzione che per dominio ha R equivalente all'intervallo aperto è illimitato $(-\infty,+infty)$, come facciamo ad applicare le tesi del criterio di monotonia se la funzione $x^2$ non soddisfa le ipotesi della stessa?
E' vero che noi possiamo prendere porzioni chiuse e limitate di questo intervallo, ma per quante possano essere non potranno mai prendere tutto il dominio della funzione e quindi sapere effettivamente come si comporta per tutto l'asse reale la funzione.
So che può sembrare una domanda banale, ma non riesco proprio ad applicare questo teorema alla funzione $x^2$, e poiché analisi è matematica, vorrei trovare un metodo per applicare questo principio per i miei futuri studi di funzione, grazie
Risposte
Si, non è una cosa molto problematica, puoi prendere porzioni di intervallo se vuoi, è chiaro che una funzione crescente su tutti i sottointervalli limitati di, diciamo, $[0,\infty) $è crescente su $[0,\infty)$. Prova a dimostrarlo, è un buon esercizio.
Ancora meglio sarebbe familiarizzare con la *dimostrazione* del teorema, che è molto semplice, basta applicare il teorema di Lagrange. Se hai capito bene la dimostrazione, vedrai che non è rilevante che l'intervallo sia limitato.
Ancora meglio sarebbe familiarizzare con la *dimostrazione* del teorema, che è molto semplice, basta applicare il teorema di Lagrange. Se hai capito bene la dimostrazione, vedrai che non è rilevante che l'intervallo sia limitato.
Va bene, proverò a dimostrarlo anche se mi sembra un po' complicato per me. Pensavo che se ne poteva uscire con qualche teorema della teoria degli insiemi, così poi da poter applicare tale principio a qualsiasi teorema in analisi matematica che prevedono le stesse ipotesi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo