Dubbio cretino: asintotico e composizione

[vl4dster]

dubbio cretino: date $f(x), g(x), h(x)$ t.c $f(x) ~ g(x)$ tutte $R->R$, tutte diverse dall'identita'

1)$f(h(x)) ~ g(h(x))$
2)$h(f(x)) ~ h(g(x))$

quali sono,se esistono, le ipotesi necessarie affinche' 1 e 2 valgano?


altra cosa, io so che se $f(x) ~ g(x)$ allora puo' essere che $lim_{x->∞}f(x) - g(x) = ∞$ ma questa cosa mi sconquinfera un pochino... come possono due funzioni asintotiche avere una differenza che va a ∞? cioe' lo so che possono, ma non capisco il significato di sta cosa...

grazie per la passiensa

[Principe2]

velocemente rispondo alla seconda domanda! per la prima magari bisogna pensarci un pò: il classico esempio è $f(x)=x^2+x$ e $g(x)=x^2$. Esse sono asintoticamente equivalenti, ma la loro differenza diverge. Ciò accade perchè la differenza è un infinito di ordine minore delle due funzioni e quindi, quando si fa il rapporto "non ci si accorge" di questo contributo. Ti faccio notare che in molti casi, ad esempio per $g(s)\geq1$ definitivamente, l'asintoticità è una condizione più debole della approssimazione tramite differenza, nel senso che una siffatta approssimazione ne implica anche una tramite rapporto, ma non vale il viceversa (vedasi l'esempio). Il perchè si usa questa più debole è che in generale è più facile da verificare, basti pensare al teorema dei numeri primi, secondo il quale la funzione $Li(n)=\int_2^n(dt)/(lnt)$ approssima il numero $\pi(n)$ dei primi minori di n, ma non si ha idea di quale sia la differenza, tant'è che, in base ad un teorema di Koch del 1901, l'ipotesi di Riemann risulta equivalente all' esistenza di una costante reale C per la quale $|Li(n)-\pi(n)|\leqCsqrt(x)ln(x)$

[vl4dster]

una siffatta approssimazione ne implica anche una tramite rapporto, ma non vale il viceversa (vedasi l'esempio). Il perchè si usa questa più debole è che in generale è più facile da verificare

grazie mille, ne ero completamente all'oscuro