Dubbio convergenza e somma serie
Proviamoci. Ho questo esercizio
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}[/tex]
e viene chieso di stabilire
a) l'insieme di convergenza puntuale
b) l'insieme di convergenza uniforme
c) la somma della serie
prima di tutto mi riconduco ad una serie di potenze
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}[/tex]
che è centrata in 0 e con raggio di convergenza 1 ottenuto con il
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{(n+1)(n+2)}=1[/tex]
Per un teorema del mio libro di riferiment (teo 2.3 pag. VIII-8 libro Bacciotti-Ricci) la serie converge puntualmente (e anche assolutamente) in ogni [tex]x \in (-R,R)[/tex], e uniformemente in ogni intervallo chiuso [-k, k] con 0
[tex]a_n=\frac{1^{n+1}}{n(n+1)} \to \frac{1}{n(n+1)}\to\lim_{n \to \infty}=0$(converge)$[/tex]
[tex]\\a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} \to \frac{1}{n(n+1)} \to \lim_{n \to \infty}=0&;$(converge)$\\\\$converge per libenitz termine $a_n$ tendente a zero$[/tex]
e da questo posso espandere l'insieme di convergenza uniforme fino agli estremi quindi [-1,1].
Fino a qui vi sembra corretto? Per il calcolo della somma
[tex]\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}=x \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} \sum_{n=1}^{\infty} x^n[/tex]
la prima serie è la serie di mengoli che somma ad 1, la seconda serie invece è la serie armonica che somma ad [tex]\frac{1}{1-x}[/tex] quindi morale della favola la somma è, ups, dovrebbe (spero)
[tex]x \cdot 1 \cdot \frac{1}{1-x} = \frac{x}{1-x}[/tex]
che ne dite?
a me non convince il fatto che ho messo insieme di convergenza [-1,1] e con 1 la somma nell'estremo destro non è propriamente finita. Mi sto confondendo probabilmente in un bicchier d'acqua (o oceano nel caso avessi scritto solo cavolate)
Grazie e spero che come primo post non sia eccessivamente disastroso
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}[/tex]
e viene chieso di stabilire
a) l'insieme di convergenza puntuale
b) l'insieme di convergenza uniforme
c) la somma della serie
prima di tutto mi riconduco ad una serie di potenze
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}[/tex]
che è centrata in 0 e con raggio di convergenza 1 ottenuto con il
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty} \frac{n(n + 1)}{(n+1)(n+2)}=1[/tex]
Per un teorema del mio libro di riferiment (teo 2.3 pag. VIII-8 libro Bacciotti-Ricci) la serie converge puntualmente (e anche assolutamente) in ogni [tex]x \in (-R,R)[/tex], e uniformemente in ogni intervallo chiuso [-k, k] con 0
[tex]a_n=\frac{1^{n+1}}{n(n+1)} \to \frac{1}{n(n+1)}\to\lim_{n \to \infty}=0$(converge)$[/tex]
[tex]\\a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} \to \frac{1}{n(n+1)} \to \lim_{n \to \infty}=0&;$(converge)$\\\\$converge per libenitz termine $a_n$ tendente a zero$[/tex]
e da questo posso espandere l'insieme di convergenza uniforme fino agli estremi quindi [-1,1].
Fino a qui vi sembra corretto? Per il calcolo della somma
[tex]\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}=x \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} \sum_{n=1}^{\infty} x^n[/tex]
la prima serie è la serie di mengoli che somma ad 1, la seconda serie invece è la serie armonica che somma ad [tex]\frac{1}{1-x}[/tex] quindi morale della favola la somma è, ups, dovrebbe (spero)
[tex]x \cdot 1 \cdot \frac{1}{1-x} = \frac{x}{1-x}[/tex]
che ne dite?
a me non convince il fatto che ho messo insieme di convergenza [-1,1] e con 1 la somma nell'estremo destro non è propriamente finita. Mi sto confondendo probabilmente in un bicchier d'acqua (o oceano nel caso avessi scritto solo cavolate)
Grazie e spero che come primo post non sia eccessivamente disastroso
Risposte
Per quanto riguarda la convergenza le cose mi sembrano funzionare (anche se io spiegherei un po' meglio come usi Leibniz nel caso $x=-1$). Per quanto riguarda la somma, hai fatto un pastrocchio inguardabile: quello che affermi tu è come dire che [tex]$a\cdot b=a+b$[/tex]. Ragiona invece così: chiama [tex]$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n(n+1)}$[/tex] la somma della serie: allora si ha
[tex]$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n+1}=\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{x^2}\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}-x\right]$[/tex]
Ora osserva che [tex]$\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$[/tex] per cui si ha
[tex]$f'(x)=-\frac{1}{x^2}\log(1-x)-\frac{1}{x}$[/tex]
A questo punto, integrando per parti, trovi il risultato finale che è
[tex]$f(x)=\frac{1-x}{x}\cdot\log\left(1-x\right)+c$[/tex]
Per trovare il valore della costante $c$, calcola il limite della funzione per [tex]$x\to 1$[/tex] (in tal caso infatti hai la serie di Mengoli la cui somma è pari a $1$ e uguaglia i valori).
[tex]$f'(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{n+1}=\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{1}{x^2}\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}-x\right]$[/tex]
Ora osserva che [tex]$\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$[/tex] per cui si ha
[tex]$f'(x)=-\frac{1}{x^2}\log(1-x)-\frac{1}{x}$[/tex]
A questo punto, integrando per parti, trovi il risultato finale che è
[tex]$f(x)=\frac{1-x}{x}\cdot\log\left(1-x\right)+c$[/tex]
Per trovare il valore della costante $c$, calcola il limite della funzione per [tex]$x\to 1$[/tex] (in tal caso infatti hai la serie di Mengoli la cui somma è pari a $1$ e uguaglia i valori).
Ciao, ti ringrazio per la risposta.
Ho difficoltà a capire che cosa hai fatto in questo passaggio (ok per il [tex]\frac{1}{x^2}[/tex]):
[tex]\frac{1}{x^2}\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}-x\right]$[/tex]
ovvero come hai diviso questo termine [tex]a_n[/tex]
Poi qui ti stai riconducendo ad una serie notevole, ma non riesco a capire quale ne come.
[tex]$\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$[/tex]
Riesci a darmi un ulteriore suggerimento?
Grazie mille ancora
Ho difficoltà a capire che cosa hai fatto in questo passaggio (ok per il [tex]\frac{1}{x^2}[/tex]):
[tex]\frac{1}{x^2}\left[\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}-x\right]$[/tex]
ovvero come hai diviso questo termine [tex]a_n[/tex]
Poi qui ti stai riconducendo ad una serie notevole, ma non riesco a capire quale ne come.
[tex]$\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$[/tex]
Riesci a darmi un ulteriore suggerimento?
Grazie mille ancora
@trigal: Se non vedo male ciampax voleva fare una sostituzione d'indici ed il copia incolla l'ha fregato... 
Probabilmente l'idea era quella di far venire fuori la serie del logaritmo dal quarto membro di quella catena di uguaglianze; però per farlo devi sommare e sottrarre [tex]$x$[/tex] ad un certo punto... Controlla un po'.
Ad ogni modo, la somma poteva anche essere determinata così:
[tex]$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}\ x^n$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right)\ x^n$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ x^n - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ x^n$[/tex] (spezzare la somma in due è lecito per convergenza di ogni pezzo)
[tex]$=-\ln (1-x)-\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ x^{n+1}$[/tex]
[tex]$=-\ln (1-x)-\frac{1}{x}\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n}\ x^n$[/tex]
[tex]$=-\ln (1-x) -\frac{1}{x} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ x^n -x\right)$[/tex]
[tex]$=-\ln (1-x) -\frac{1}{x} \Big( -\ln(1-x) -x\Big)$[/tex]
[tex]$=\frac{1-x}{x} \ln (1-x) +1$[/tex]
Probabilmente l'idea era quella di far venire fuori la serie del logaritmo dal quarto membro di quella catena di uguaglianze; però per farlo devi sommare e sottrarre [tex]$x$[/tex] ad un certo punto... Controlla un po'.
Ad ogni modo, la somma poteva anche essere determinata così:
[tex]$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}\ x^n$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right)\ x^n$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ x^n - \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ x^n$[/tex] (spezzare la somma in due è lecito per convergenza di ogni pezzo)
[tex]$=-\ln (1-x)-\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ x^{n+1}$[/tex]
[tex]$=-\ln (1-x)-\frac{1}{x}\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n}\ x^n$[/tex]
[tex]$=-\ln (1-x) -\frac{1}{x} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\ x^n -x\right)$[/tex]
[tex]$=-\ln (1-x) -\frac{1}{x} \Big( -\ln(1-x) -x\Big)$[/tex]
[tex]$=\frac{1-x}{x} \ln (1-x) +1$[/tex]
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