Dubbio confronto tra infiniti
Ciao a tutti!
Non riesco a capire il perché si può ragionare in termini di confronto tra infiniti in questo caso:
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{\sqrt(x)}}{x^{\frac{3}{2}}}=\+infty$
(Esempio preso da qui.)
Nelle lezioni da cui ho studiato ho appreso che $e^f(x)$ è di ordine superiore rispetto a $f(x)^c$ con $f(x) \to +\infty, c \in \mathbb{R^+}$, ma nell'esempio sopra la funzione non è la stessa, infatti, da un lato c'è una potenza di $x$ dall'altro un'esponenziale elevato ad una potenza di $x$ (diversa rispetto a quella presente al denominatore). Ciò a cui a cui mi sono affidato io è stato questo schemino:
$\log_{a}(f(x)) < (f(x))^b<(f(x))^c0 \vv a\ne1$, $0
*Nella lista delle funzioni elementari sopracitate il simbolo $<$ sta ad indicare che la funzione alla sua sinistra è un infinito di ordine inferiore della funzione alla sua destra*
Si può dire quindi che in generale una potenza che tende a $+\infty$ è sempre minore di un'esponenziale che tende a $+\infty$?
Non riesco a capire il perché si può ragionare in termini di confronto tra infiniti in questo caso:
$\lim_{x \to \infty} \frac{e^{\sqrt(x)}}{x^{\frac{3}{2}}}=\+infty$
(Esempio preso da qui.)
Nelle lezioni da cui ho studiato ho appreso che $e^f(x)$ è di ordine superiore rispetto a $f(x)^c$ con $f(x) \to +\infty, c \in \mathbb{R^+}$, ma nell'esempio sopra la funzione non è la stessa, infatti, da un lato c'è una potenza di $x$ dall'altro un'esponenziale elevato ad una potenza di $x$ (diversa rispetto a quella presente al denominatore). Ciò a cui a cui mi sono affidato io è stato questo schemino:
$\log_{a}(f(x)) < (f(x))^b<(f(x))^c
*Nella lista delle funzioni elementari sopracitate il simbolo $<$ sta ad indicare che la funzione alla sua sinistra è un infinito di ordine inferiore della funzione alla sua destra*
Si può dire quindi che in generale una potenza che tende a $+\infty$ è sempre minore di un'esponenziale che tende a $+\infty$?
Risposte
[xdom="Mephlip"]Potresti cortesemente modificare il messaggio e riscrivere il testo? Come da regolamento, le immagini sono da evitare; infatti, col tempo vengono cancellate dai siti di upload e quindi questo post risulterà incomprensibile per chi passerà di qui in futuro. Grazie.[/xdom]
Puoi ricondurti al caso da te visto a lezione. Puoi assumere $x>0$ in quanto $x \to +\infty$, perciò puoi scrivere $x^{1/2}=\sqrt{x}$ e quindi $x^{3/2}=(\sqrt{x})^3$. Pertanto:
$$\frac{e^{\sqrt{x}}}{x^{3/2}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^3}$$
Qui non ha molto senso. "Minore" ha un significato specifico in matematica, al più volevi dire "è un infinito di ordine inferiore". Comunque sì, per ogni $a>1$ e per ogni $b\in \mathbb{R}$ risulta:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{x^b}=+\infty$$
Puoi ricondurti al caso da te visto a lezione. Puoi assumere $x>0$ in quanto $x \to +\infty$, perciò puoi scrivere $x^{1/2}=\sqrt{x}$ e quindi $x^{3/2}=(\sqrt{x})^3$. Pertanto:
$$\frac{e^{\sqrt{x}}}{x^{3/2}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^3}$$
"alfred douglas":
Si può dire quindi che in generale una potenza che tende a $+\infty$ è sempre minore di un'esponenziale che tende a $+\infty$?
Qui non ha molto senso. "Minore" ha un significato specifico in matematica, al più volevi dire "è un infinito di ordine inferiore". Comunque sì, per ogni $a>1$ e per ogni $b\in \mathbb{R}$ risulta:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{x^b}=+\infty$$
"Mephlip":
Puoi ricondurti al caso da te visto a lezione. Puoi assumere $x>0$ in quanto $x \to +\infty$, perciò puoi scrivere $x^{1/2}=\sqrt{x}$ e quindi $x^{3/2}=(\sqrt{x})^3$. Pertanto:
$$\frac{e^{\sqrt{x}}}{x^{3/2}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^3}$$
È vero! Mi era sfuggito poiché non visualizzavo $sqrt(x^3)$ come $(sqrt(x))^3$
Nel caso invece fosse $lim_{x \to +\infty}\frac{e^{sqrt(x)}}{x^2}$ potrei ragionare allo stesso modo considerando $x^2$ come $(sqrt(x))^4$ potendolo fare grazie al fatto che $x \to +\infty$ implica $x>0$?
"Mephlip":
Qui non ha molto senso. "Minore" ha un significato specifico in matematica, al più volevi dire "è un infinito di ordine inferiore". Comunque sì, per ogni $a>1$ e per ogni $b\in \mathbb{R}$ risulta:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{a^x}{x^b}=+\infty$$
Hai ragione, perdona la mia imprecisione. Esatto, con "minore" intendevo dire un infinito di ordine inferiore.
Provo a porti il quesito in maniera più chiara: siano $e^{g(x)}$ e $f(x)^c$ con $c>0$ due funzioni che tendono entrambe a $+\infty$, con $f\ne g$ (ovvero due funzioni definite in modo diverso). Detto informalmente vale sempre che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad una potenza?
Grazie per aver modificato il messaggio!
Sì, esatto: puoi generalizzare ad una qualsiasi potenza con esponente reale ragionando così.
No, scritto così è falso. Ad esempio, se $g(x)= \log x$, $f(x)=x$ e $c=2$ allora:
$$\frac{e^{g(x)}}{f(x)^c}=\frac{e^{\log x}}{x^2}=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$$
e $1/x \to 0$ per $x \to +\infty$. Devi comunque ricondurre ad una stessa funzione l'esponente dell'esponenziale e la base della potenza.
"alfred douglas":
Nel caso invece fosse $lim_{x \to +\infty}\frac{e^{sqrt(x)}}{x^2}$ potrei ragionare allo stesso modo considerando $x^2$ come $(sqrt(x))^4$ potendolo fare grazie al fatto che $x \to +\infty$ implica $x>0$?
Sì, esatto: puoi generalizzare ad una qualsiasi potenza con esponente reale ragionando così.
"alfred douglas":
Provo a porti il quesito in maniera più chiara: siano $e^{g(x)}$ e $f(x)^c$ con $c>0$ due funzioni che tendono entrambe a $+\infty$, con $f\ne g$ (ovvero due funzioni definite in modo diverso). Detto informalmente vale sempre che l'esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad una potenza?
No, scritto così è falso. Ad esempio, se $g(x)= \log x$, $f(x)=x$ e $c=2$ allora:
$$\frac{e^{g(x)}}{f(x)^c}=\frac{e^{\log x}}{x^2}=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$$
e $1/x \to 0$ per $x \to +\infty$. Devi comunque ricondurre ad una stessa funzione l'esponente dell'esponenziale e la base della potenza.
"Mephlip":
Grazie per aver modificato il messaggio!
Figurati. Anzi grazie a te per avermi avvisato, mi ero perso quell'info nel regolamento del forum!
"Mephlip":
Sì, esatto: puoi generalizzare ad una qualsiasi potenza con esponente reale ragionando così.
"Mephlip":
No, scritto così è falso. Ad esempio, se $g(x)= \log x$, $f(x)=x$ e $c=2$ allora:
$$\frac{e^{g(x)}}{f(x)^c}=\frac{e^{\log x}}{x^2}=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$$
e $1/x \to 0$ per $x \to +\infty$. Devi comunque ricondurre ad una stessa funzione l'esponente dell'esponenziale e la base della potenza.
Perfetto, ora mi è tutto chiaro! Grazie mille Mephlip!
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