Dubbio con una serie numerica

[Piex89]

La serie in esame è la seguente

$(nln(n))/(n^2+1)^2$ = $suma$

Sto provando a determinarne il carattere con il criterio del confronto asintotico.
Ho provato a confrontarla con $sumb$ = 1/n^2, quindi facendo il limite:

$lim n->oo [(nln(n))/(n^2+1)^2/(1/n^2)] = 0$

quindi dato che $sumb$ converge, allora converge anche $suma$.
E' giusto?

[Roxie1]

Se utilizzi il criterio del confronto asintotico credo che il limite del rapporto debba venirti tutto fuorchè zero... Infatti si dice che due funzioni sono asintotiche per x tendente a c se il lim per x tendente a c del rapporto è uno...

[Seneca1]

"Piex89":$lim n->oo [(nln(n))/(n^2+1)^2/(1/n^2)] = 0$

L'idea è giusta. Questo significa che, fissato $epsilon > 0$, $EE n_0 in NN$ tale che $AA n > n_0$ si abbia che:

$((n * ln(n))/(n^2+1)^2)/(1/n^2) < epsilon$ , ovvero $(n * ln(n))/(n^2+1)^2 < epsilon * 1/n^2$.

Questo significa che il termine generale della tua serie è maggiorato (definitivamente, cioè da un certo indice in poi) da $epsilon * 1/n^2$. $sum 1/n^2 < +oo$ quindi la tua serie converge.