Dubbio con questo limite!

[sebyspi]

$\lim_{x \to \infty}(2x+cosx)/x$
lo risolvo in questo modo:
impongo x=1/t quindi:
$\lim_{t \to \0}(2(1/t)+cos(1/t))/(1/t)$

a questo punto trasformo cosx con gli sviluppi di maclaurin:
$\lim_{t \to \0}(2(1/t)+1+o(1/t))/(1/t)$

e per il rapporto tra infiniti è quindi uguale a 2..

è giusto???

[Seneca1]

Non va bene perché per poter usare lo sviluppo di MacLaurin è necessario che l'argomento del coseno tenda a $0$ (e in questo caso non succede).

Quello che puoi fare, però, è raccogliere $x$ a numeratore...

[sebyspi]

Giusto!
Perchè $\lim_{x \to \infty}(cosx)/x=0$ vero???
avrei anche un'altra domanda.. stavo svolgendo quest altro limite utilizzando sempre taylor ma non riesco a capire dove sbaglio...

$\lim_{x \to \0}((1+x)^((2+x)/(2x))-e)/(ln(1+x)+sin^2(x)-x) =$ $\lim_{x \to \0}((1+x)^(1/x+1/2)-e)/(ln(1+x)+sin^2(x)-x) =$

$\lim_{x \to \0}((1+x)^(1/x)*sqrt(1+x)-e)/(ln(1+x)+sin^2(x)-x) =$

arrivato a questo punto $\lim_{x \to \0}(1+x)^(1/x)=e$
e utilizzo maclaurin..

$\lim_{x \to \0}(e(1+x/2-x^2/8+o(x^2))-e)/((x-x^2/2+o(x^2))+(x+o(x^2))^2-x) =$

$\lim_{x \to \0}(ex/2-ex^2/8)/(x^2/2) $

Dovìè che sbaglio????

[sebyspi]

up

[ciampax]

Devi sviluppare anche il numeratore:

$(1+x)^{{2+x}/{2x}}=e^{{2+x}/{2x}\cdot\log(1+x)}=e^{{2+x}/{2x}(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3))}=e^{(2+x)(1/2-x/4+x^2/{6}+o(x^2))}=e^{1+x^2/{12}+o(x^2)}=$
$=e\cdot e^{+x^2/{12}+o(x^2)}=e\cdot(1+x^2/{12}+o(x^2))$

[sebyspi]

ho capito grazie mille.... quindi si trattava di svolgere meglio il numeratore..
ho un'ultima domanda... gli o piccolo so che indicano il resto.. ma praticamente, nello svolgimento del limite a cosa sono utili??
devono avere tutti lo stesso grado???
illuminatemi!