Dubbio con limite ricondotto a quello notevole

[f4747912]

ciao ragazzi mi è sorto un dubbio su questo limite che ho portato al limite notevole.
spiego come mi sono mosso..
Ho interrogato Wolfram Alpha e tale limite dell'esponente dovrebbe trovarsi 0

$lim n->oo$ $(1+n/(n^3+2))^(sqrt(n+sinn)$


$lim n->oo$ $(1+1/((n^3+2)/(n)))^(sqrt(n+sinn)$

ora dato che il limite notevole deve essere elevato a $fx$ quindi $(n^3+2)/(n)$

svolgendo tutti i passaggi mi trovo $e^(lim x->oo (n^3+2)sqrt(n+sinn)/n$

Non riesco a trovarmi con il limite finale..

[anto_zoolander]

$lim_(n->+infty)(1+n/(n^3+2))^sqrt(n+sinn)$

$lim_(n->+infty)(1+1/((n^3+2)/n))^(sqrt(n+sinn)*((n^3+2)/n)/((n^3+2)/n))$

naturalmente tutti questi passaggi possiamo farli impunemente perché siamo in un intorno di $+infty$
siccome dentro la parentesi c'è una quantità sempre positiva:

$lim_(n->+infty)((1+1/((n^3+2)/n))^((n^3+2)/n))^(sqrt(n+sinn)*(1/((n^3+2)/n)))$

$e^(lim_(n->+infty)(nsqrt(n+sinn))/(n^3+2))$ considero $lim_(n->+infty)(nsqrt(n+sinn))/(n^3+2)$

$lim_(n->+infty)(n(n+sinn))/((n^3+2)sqrt(n+sinn))$

$lim_(n->+infty)(n^2(1+sinn/n))/(n^2(n+2/n^2)sqrt(n+sinn)$

$lim_(n->+infty)(1+sinn/n)/((n+2/n^2)sqrt(n+sinn))=[(1+0)/((+infty+0)(sqrt(+infty)))]=0$

dunque $lim_(n->+infty)a_n=e^0=1$

[f4747912]

Grazie mille..

[anto_zoolander]

Ah dimenticavo di aggiungere una cosa:

$lim_(n->+infty)(1+1/((n^3+2)/n))^((n^3+2)/n)$

Nota che il limite vale $e$ perché $per n->+infty$ si ha che $(n^3+2)/n->+infty$

Chiamando dunque $a_n=(n^3+2)/n$

$lim_(a_n->+infty)(1+1/(a_n))^(a_n)=e$

[f4747912]

Negli ultimi passaggi non potrei dire direttamente che il limite dell esponente vale zero perchè prevale il denominatore?