Dubbio con limite

[f4747912]

$lim_(x->0)(sin3x-sinx)/ln(1+x)$

ragazzi volevo chiarire questo dubbio:

allora applicando il principio di equivalenza si ha $(3x-x)$

al denominatore $x$ che è il limite notevole.

Ora avrei $(3x-x)/x$ ora la differenza si puo fare?

o vale il fatto che tra infinitesimi dello stesso ordine vale solo la somma.. ? e dovrei usare lo sviluppo in serie... sto facendo un po di confusione.

[fisicarlo]

non so cosa sia il principio di equivalenza, e forse non risponderò alla tua domanda, ma questo limite lo puoi fare facilmente con il teorema dell'Hopital, derivando numeratore e denominatore...
$ lim_(x -> 0) (sin(3x)-sin(x))/ln(1+x)= lim_(x -> 0)(d/(dx)sin(3x)-d/dxsin(x))/(d/(dx)(ln(1+x))) = lim_(x -> 0)(3cos(3x)-cos(x))/(1//1+x) = lim_(x -> 0)(3cos(3x)-cos(x))*(1+x) = (3cos(0)-cos(0))*(1+0) = 2 $

Un altro metodo è dividere e moltiplicare numeratore e denominatore per x, e usare i limiti notevoli:
$ lim_(x -> 0) (3sin(3x)/(3x)-sin(x)/x)/(ln(1+x)/x) = (3lim_(x -> 0)sin(3x)/(3x)-sin(x)/x)/(lim_(x -> 0)(ln(1+x)/x))=(3-1)/1=2$
Se non ho risposto alla tua domanda fammelo sapere così cancello la mia risposta...

[f4747912]

in realtà mi trovo con quanto dici.. io praticamente ho usato i limiti notevoli perciò ho detto principio di equivalenza.. scusate se sono stato poco chiaro

quindi $sen3x$ è equivalente a $3x$ e $sinx$ è equivalente ad $x$

al denominatore sfruttando il limite notevole $ln(1+x)$ equivalente ad $x$

quindi $(3x-x)/x$

ora mi è sorto il dubbio: il teorema dice che quando abbiamo infinitesimi dello stesso ordine vale la loro somma..
in questo caso essendoci la differenza $3x-x$ che è una differenza dovrei usare lo sviluppo in serie? o posso fare $2x/x$ che poi mi porta a dire che il limite vale $2$. in realtà era solo questo il dubbio pero mi trovo..

[fisicarlo]

Allora ti serve proprio un matematico, io alzo bandiera bianca... A me interessa solo imparare gli algoritmi per risolvere i problemi, i teoremi cerco di evitarli come la peste per quanto mi è possibile !!

P.S.: non sei stato tu poco chiaro, sono io che sono ignorante in matematica