Dubbio con la risoluzione analitica di un limite
Ciao a tutti 
Studiando i limiti mi trovo davanti a un esercizio che non capisco come risolvere analiticamente.
Si tratta di risolvere il seguente limite:
\(\displaystyle
\lim_{(x \to 0)} \, {x \over \sqrt(x + 1) - 1}
\)
Sò che la soluzione è 2 ma non capisco come si ottiene analiticamente il risultato, se non construendo una tabella di valori.
Grazie in anticipo.
Studiando i limiti mi trovo davanti a un esercizio che non capisco come risolvere analiticamente.
Si tratta di risolvere il seguente limite:
\(\displaystyle
\lim_{(x \to 0)} \, {x \over \sqrt(x + 1) - 1}
\)
Sò che la soluzione è 2 ma non capisco come si ottiene analiticamente il risultato, se non construendo una tabella di valori.
Grazie in anticipo.
Risposte
tra i limiti notevoli esiste il seguente
$ lim_(x -> 0)((1+x)^alpha-1)/x=alpha $
e come sai $sqrtz=z^(1/2)$
$ lim_(x -> 0)((1+x)^alpha-1)/x=alpha $
e come sai $sqrtz=z^(1/2)$
Ciao stormy
Grazie, sono andato a consultare la tabella dei limiti notevoli e mi è più chiaro perché vale 2.
Non capisco però la soluzione / dimostrazione del limite notevole
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {(1+ x )^{\alpha} - 1 \over x} = \alpha \)
Mi potresti aiutare a capire ?
Grazie.
Grazie, sono andato a consultare la tabella dei limiti notevoli e mi è più chiaro perché vale 2.
Non capisco però la soluzione / dimostrazione del limite notevole
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} {(1+ x )^{\alpha} - 1 \over x} = \alpha \)
Mi potresti aiutare a capire ?
Grazie.
Ciao simox2 
Ciò che non capisci è perché tale limite notevole vale $\alpha$
Si può facilmente mostrare anche per via analitica. Se sostituisci subito $0$ ad $x$ nell'espressione (argomento) del limite vedi subito come si arrivi alla forma indeterminata $0 / 0$. Ora se anziché sostituire direttamente tale valore a $x$ sviluppi $(1 + x)^{\alpha}$ ti accorgi (nel caso di $\alpha$ intero) come successivamente l'$1^{\alpha} = 1$ che ottieni da tale sviluppo si semplifichi col $-1$. Di conseguenza puoi raccogliere un $x$ dall'espressione risultante che si semplifica con l'$x$ a denominatore e sparisce la forma indeterminata. Nel caso $\alpha$ sia un numero razionale allora credo occorra razionalizzare opportunamente moltiplicando numeratore e denominatore per $(1 + x)^{\alpha} + 1$. Alla fine si dovrebbe arrivare comunque al punto descritto in precedenza.
Ciò che non capisci è perché tale limite notevole vale $\alpha$
Si può facilmente mostrare anche per via analitica. Se sostituisci subito $0$ ad $x$ nell'espressione (argomento) del limite vedi subito come si arrivi alla forma indeterminata $0 / 0$. Ora se anziché sostituire direttamente tale valore a $x$ sviluppi $(1 + x)^{\alpha}$ ti accorgi (nel caso di $\alpha$ intero) come successivamente l'$1^{\alpha} = 1$ che ottieni da tale sviluppo si semplifichi col $-1$. Di conseguenza puoi raccogliere un $x$ dall'espressione risultante che si semplifica con l'$x$ a denominatore e sparisce la forma indeterminata. Nel caso $\alpha$ sia un numero razionale allora credo occorra razionalizzare opportunamente moltiplicando numeratore e denominatore per $(1 + x)^{\alpha} + 1$. Alla fine si dovrebbe arrivare comunque al punto descritto in precedenza.
Giusto, mi rendo conto che non ho praticato bene la sostituzione e semplificazione secondo le proprietà dei radicali:
\(\displaystyle
\begin{aligned}
& \lim_{x \to 0} \, f(x) = \lim_{x \to 0} \, {x \over \sqrt(x + 1) -1} \\
& \left ( {x \over \sqrt(x + 1) -1} \right ) \times \left ( {\sqrt(x + 1) +1 \over \sqrt(x + 1) +1} \right ) = {\not{x} \times (\sqrt(x + 1) +1) \over \not{x}} \\
& \lim_{x \to 0} \, \sqrt(x + 1) +1 = 2
\end{aligned}
\)
\(\displaystyle
\begin{aligned}
& \lim_{x \to 0} \, f(x) = \lim_{x \to 0} \, {x \over \sqrt(x + 1) -1} \\
& \left ( {x \over \sqrt(x + 1) -1} \right ) \times \left ( {\sqrt(x + 1) +1 \over \sqrt(x + 1) +1} \right ) = {\not{x} \times (\sqrt(x + 1) +1) \over \not{x}} \\
& \lim_{x \to 0} \, \sqrt(x + 1) +1 = 2
\end{aligned}
\)
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