Dubbio con integrale indefinita

[simox2]

Un saluto a tutti,

Ho un dubbio nella risoluzione dell'integrale indefinita:

\(\displaystyle
\int {2 \over \sqrt{-9x^2 + 1}}\,\text{d}x
\)

La soluzione proposta dall'esercizio è:

\(\displaystyle
-{2 \over 3} \arcsin(3x) + c
\)

Non capisco perché quel \(\displaystyle 3 \) al denominatore, perché dalla tabella delle integrali vedo che la soluzione per l'integrale indefinita:

\(\displaystyle
\int {a \over \sqrt{1 - x^2}} \,\text{d}x
\)

è

\(\displaystyle a \arcsin(x) + c \)

PS: non mi piace molto fare sempre riferimento alle tabelle però capisco che applicare il metodo analitico ogni volta potrebbe essere molto laborioso.

Ringrazio in anticipo.

[ciampax]

Se guardi bene, in questo integrale (che è MASCHILE, non FEMMINILE) non c'è $1-x^2$ sotto radice, ma $1-9x^2$. Al fine di riportarlo nella forma che hai specificato, dovresti porre $3x=t$ in modo da avere il seguente integrale
$$\int\frac{2}{\sqrt{1-t^2}}\cdot\frac{dt}{3}=\frac{2}{3}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\frac{2}{3}\arcsin t+c=\frac{2}{3}\arcisn(3x)+c$$
Non capisco la presenza del meno che, tra l'altro, come si può verificare derivando, non fornisce la funzione integranda ma la stessa moltiplicata per $-1$.

[simox2]

OK

\(\displaystyle
\int {a \over \sqrt{1 - bx^2}} \,\text{d}x = {a \arcsin( \sqrt{b}x) \over \sqrt{b}} + c
\)

Bisogna dire che le tabelle sono sempre spesso scritte con superficialità...

[simox2]

ciampax ho sbagliato io a scrivere il segno meno.

Pardon.

[21zuclo]

in alternativa ..senza usare la sostituzione

puoi osservare che $9x^2=(3x)^2$
quindi
$ 2\int (dx)/(\sqrt(1-9x^2))=2\int (dx)/(\sqrt(1-(3x)^2))=2/3 \arcsin(3x)+C $