Dubbio composizione di sviluppi in serie
Buon pomeriggio!
Oggi stavo rispolverando un pochino analisi per aiutare una ragazza e mi è sorto un dubbio:
Dovendo sviluppare il serie $ exp (z/(1-z)) $ intorno alla singolarità 1, ho pensato di sviluppare $ e^z $ e comporre il tutto con lo sviluppo di $ z/(1-z) $ .
Ma non ricordo esattamente COME farlo...
Ci aiutereste?
Grazie!
Oggi stavo rispolverando un pochino analisi per aiutare una ragazza e mi è sorto un dubbio:
Dovendo sviluppare il serie $ exp (z/(1-z)) $ intorno alla singolarità 1, ho pensato di sviluppare $ e^z $ e comporre il tutto con lo sviluppo di $ z/(1-z) $ .
Ma non ricordo esattamente COME farlo...
Ci aiutereste?
Grazie!
Risposte
Ciao Izzy412,
$z = 1$ è una singolarità essenziale per la funzione $f(z) := exp(frac{z}{1 - z})$.
Per lo sviluppo in serie di Laurent:
$f(z) := exp(frac{z}{1 - z}) = exp(- frac{z}{z - 1}) = exp(- frac{z - 1 + 1}{z - 1}) = exp(- 1 - frac{1}{z - 1}) = $
$ = frac{1}{e} exp(- frac{1}{z - 1}) = frac{1}{e} sum_{k = 0}^{+\infty} (- frac{1}{z - 1})^k/(k!) = frac{1}{e} sum_{k = 0}^{+\infty} (- 1)^k (z - 1)^{-k}/(k!) = $
$ = frac{1}{e}[1 - frac{1}{z - 1} + frac{1}{2!}\cdot frac{1}{(z - 1)^2} - frac{1}{3!}\cdot frac{1}{(z - 1)^3} + ... ] $
$z = 1$ è una singolarità essenziale per la funzione $f(z) := exp(frac{z}{1 - z})$.
Per lo sviluppo in serie di Laurent:
$f(z) := exp(frac{z}{1 - z}) = exp(- frac{z}{z - 1}) = exp(- frac{z - 1 + 1}{z - 1}) = exp(- 1 - frac{1}{z - 1}) = $
$ = frac{1}{e} exp(- frac{1}{z - 1}) = frac{1}{e} sum_{k = 0}^{+\infty} (- frac{1}{z - 1})^k/(k!) = frac{1}{e} sum_{k = 0}^{+\infty} (- 1)^k (z - 1)^{-k}/(k!) = $
$ = frac{1}{e}[1 - frac{1}{z - 1} + frac{1}{2!}\cdot frac{1}{(z - 1)^2} - frac{1}{3!}\cdot frac{1}{(z - 1)^3} + ... ] $
Ciao, grazie della risposta!
Ma ho ancora un dubbio. Ho capito perfettamente i calcoli, ma non ho ben capito il perché dei primi 4 passaggi, cioè portare tutto da $z/(1-z)$ a $1-1/(z-1)$
Ma ho ancora un dubbio. Ho capito perfettamente i calcoli, ma non ho ben capito il perché dei primi 4 passaggi, cioè portare tutto da $z/(1-z)$ a $1-1/(z-1)$
"Izzy412":
grazie della risposta!
Prego!
"Izzy412":
Ma ho ancora un dubbio.
Perdonami, ma non capisco che dubbio tu abbia, anche perché poi affermi
"Izzy412":
Ho capito perfettamente i calcoli
"Izzy412":
non ho ben capito il perché dei primi 4 passaggi, cioè portare tutto da $z/(1−z)$ a $1−1/(z−1)$
No, attenzione, da $z/(1−z)$ a $- 1− 1/(z − 1)$: c'è differenza, infatti $exp(1) = e$ mentre $exp(- 1) = e^{- 1} = 1/e $.
Il motivo è semplice. Immagino che tu sappia che la serie di Laurent per una funzione complessa $f(z)$ in un punto $z_0$ è la seguente:
$f(z) = sum_{k = -\infty}^{+infty} a_k (z - z_0)^k $
La parte negativa ($k < 0$) della serie di Laurent viene detta parte principale della serie, mentre quella positiva ($k > 0$), parte regolare. Nel tuo caso $z_0 = 1$, quindi è chiaro che occorre ricondursi ad un'espressione che contenga $(z - 1)$ elevato ad una qualche potenza (positiva, negativa o nulla in generale, ma solo negativa o nulla nel caso in esame).
Dato che la serie di Laurent "non si ferma" dalla parte negativa, allora il punto $z_0 = 1$ è una singolarità essenziale.
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