Dubbio colossale su Teorema di Weierstrass
Tra pochi giorni ho l' esame di analisi matematica 1, e non riesco a comprendere pienamente il ragionamento della dimostrazione del Teorema di Weierstrass.
Chiedo scusa , non so scrivere diversamente, imparerò.
Teorema di Weierstrass: Sia f: [a,b]->R continua ---> f è dotata di un valore minimo e massimo locale.
Lo dimostro così: chiamo M= sup [f(x)/x€R]
verifico che esiste una successione Xn contenuta in [a,b] tale che il limite per n->oo di f(Xn)=M
infatti, supposto M diverso da +oo, per la proprietà dell' estremo superiore: per ogni n appartenente a N esiste una successione Xn contenuta in [a,b] tale che f(Xn)>(M-1/n) (ho applicato la definizone di limite con epsilon= 1/n e la successione al posto di un x generico appartenente all' intervallo).
Ok, ho dimostrato che esiste tale successione. Il passo seguente che il prof ha dettato è : Per il teorema di Bolzano-Weierstrass , essendo Xn limitata , ammette una estratta Xnk convergente ad un punto in [a,b] che chiameremo x0.
Pochiè f è continua -> lim n->oo di f(Xnk)= f(x0).
Ora nasce il problema:
Ora pone però f(xo)=lim n->oo f(Xnk) = lim n->oo f(Xn)=M
Cosa mi assicura che la funzione Xn da cui abbiamo estratto Xnk convergente a x0 , converga anche lei a x0???? Esiste qualche proprietà delle successioni estratte che mi sfugge?
Chiedo scusa , non so scrivere diversamente, imparerò.
Teorema di Weierstrass: Sia f: [a,b]->R continua ---> f è dotata di un valore minimo e massimo locale.
Lo dimostro così: chiamo M= sup [f(x)/x€R]
verifico che esiste una successione Xn contenuta in [a,b] tale che il limite per n->oo di f(Xn)=M
infatti, supposto M diverso da +oo, per la proprietà dell' estremo superiore: per ogni n appartenente a N esiste una successione Xn contenuta in [a,b] tale che f(Xn)>(M-1/n) (ho applicato la definizone di limite con epsilon= 1/n e la successione al posto di un x generico appartenente all' intervallo).
Ok, ho dimostrato che esiste tale successione. Il passo seguente che il prof ha dettato è : Per il teorema di Bolzano-Weierstrass , essendo Xn limitata , ammette una estratta Xnk convergente ad un punto in [a,b] che chiameremo x0.
Pochiè f è continua -> lim n->oo di f(Xnk)= f(x0).
Ora nasce il problema:
Ora pone però f(xo)=lim n->oo f(Xnk) = lim n->oo f(Xn)=M
Cosa mi assicura che la funzione Xn da cui abbiamo estratto Xnk convergente a x0 , converga anche lei a x0???? Esiste qualche proprietà delle successioni estratte che mi sfugge?
Risposte
"stepp_92":
Teorema di Weierstrass: Sia f: [a,b]->R continua ---> f è dotata di un valore minimo e massimo locale.
Prima di tutto io direi "massimo e minimo assoluti"... Perché locali?
Giusto, avrei dovuto scrivere f: A->R con [a,b]contenuto in A
In ogni caso, riguardo il problema delle successioni, sapresti illuminarmi?
In ogni caso, riguardo il problema delle successioni, sapresti illuminarmi?
Se potessi usare i simboli di dollaro per circoscrivere le formule ( click ) sarebbero più chiari i tuoi dubbi...
La successione $y_n = f(x_n)$ converge a $M$; di conseguenza anche qualsiasi sua sottosuccessione $(y_{n_k})$ converge al medesimo limite.
grazie mille! gentilissimo..e scusa per il doppio thread, non sapevo si potesse modificare il messaggio iniziale
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo