Dubbio calcolo derivate e differenziale funzione

[parme1]

Ciao a tutti. Sto frequentando il corso di Analisi 2 e mi sono stati consegnati alcuni esercizi circa il calcolo delle derivate parziali e il differenziale.
L'esercizio è così dato:


$f(x,y)={(|x|^{\alpha}*ln(x^2+y^2),if(x,y)!=(0,0)) ,(0,if (x,y)=(0,0)):}$

con $\alpha > 0$
ora per la continuità è un attimo per le derivate parziali incominciano i dubbi più che i problemi:
Per i punti $(x,y)!=(0,0)$ le derivate parziali esistono e sono continue ma per le derivate parziali
quali punti in particolari devo guardare a parte $(0,0)$? Cioè in parole povere di fronte a questo modulo
come mi devo comportare? La mia insegnante parlava di generici punti $(0,b)$ cioè la retta $x=0$
che ha anche il suo senso in quanto l'intorno "prende" punti in cui il modulo non è definito in modo univoco.
E al di fuori di questo esempio in funzione a più variabili che presentano un modulo come mi devo comportare?
Grazie in anticipo

[dissonance]

"parme":ha anche il suo senso in quanto l'intorno "prende" punti in cui il modulo non è definito in modo univoco.

Non è definito in modo univoco che significa? Comunque sia non è questo il motivo. In tutti i punti del piano diversi dall'origine e da quelli con $x=0$ la tua funzione è certamente differenziabile e lo puoi dire a priori senza fare conti: infatti è il prodotto delle funzioni $|x|^alpha$ e $log(x^2+y^2)$ che, a loro volta, sono composizioni di funzioni differenziabili (e anzi di classe $C^infty$). Quando invece parli di punti con $x=0, y!=0$ non puoi dire nulla a priori su $|x|^alpha$ e quindi ti tocca controllare a mano.