Dubbio calcolo area di una superficie

[Lebesgue]

Sempre aiutando un ragazzo nel fare esercizi di analisi 2, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:

Utilizzando gli integrali di prima specie (aka integrali curvilinei) calcolare l'area della superficie $S=\{(x,y,z)\in\RR^3 : (x,y)\in\Gamma, 0\le z\le \sqrt(x^2+y^2)\}$, dove $\Gamma$ è il sostegno della curva $\gamma:[0,2\pi]\to\RR^2$ data da $\gamma(t)=(e^(-t)\cos t,e^(-t)\sin t)$.

Nella soluzione, viene semplicemente scritto:
$Area(S)=\int_\gamma \sqrt(x^2+y^2) ds$ e poi viene trattato come un integrale curivilineo.

La mia domanda è: perché fa così? O meglio, perchè integra quella funzione lungo $\gamma$?

Io avrei parametrizzato la superficie come $\phi(u,v)=(u,v,\sqrt(u^2+v^2))$ con $(u,v)\in\Gamma$ e l'avrei quindi trattata come una superficie cartesiana.

[Quinzio]

Comunque la parametrizzazione sarebbe:
$ \phi(u,v)=(e^{-u} \cos u, e^{-u} \sin u, v\ e^{-u}) $
con $u \in 2\pi, v in [0,1]$

[pilloeffe]

Ciao Lebesgue,

Beh, la parametrizzazione è già bella che "confezionata":

$ Area(S)=\int_\gamma f \text{d}s = \int_0^{2\pi} f(x(t), y(t)) ||\gamma'(t)|| \text{d}t = \int_0^{2\pi} \sqrt{x^2(t) + y^2(t)} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} \sqrt{e^{- 2t} cos^2 t + e^{- 2t} sin^2 t} \cdot \sqrt{[- e^-t(sin t + cos t)]^2 + [e^-t(cos t - sin t)]^2} \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} e^-t \sqrt{2 e^{- 2t}} \text{d}t = \sqrt2 \int_0^{2\pi} e^{- 2t} \text{d}t = \sqrt2 [- 1/2 e^{- 2t}]_0^{2\pi} = \sqrt2/2 (1 - e^{- 4\pi}) $