Dubbio banale derivate direzionali
A occhio e croce dovrebbe essere una cavolata ma non mi viene in mente nessuna idea...
Sia $f:\mathbb{R}^n -> \mathbb{R}$ deribabile lungo una direzione $v$ in un punto $x\in \mathbb{R}^n$. Dimostrare che $D_vf(x)=-D_{-v}f(x)$
Se $f$ è differenziabile in $x$ il problema è banale. Senza questa ipotesi ho provato ad impostare i vari limiti sperando nell'illuminazione che non è arrivata...
P.S.: Per quanto ne so io potrebbe anche essere falso questo fatto che sto cercando di dimostrare!!
Grazie!
(Con la notazione $D_vf(x)$ ho indicato la derivata direzionale rispetto a $v$ di $f$)
Sia $f:\mathbb{R}^n -> \mathbb{R}$ deribabile lungo una direzione $v$ in un punto $x\in \mathbb{R}^n$. Dimostrare che $D_vf(x)=-D_{-v}f(x)$
Se $f$ è differenziabile in $x$ il problema è banale. Senza questa ipotesi ho provato ad impostare i vari limiti sperando nell'illuminazione che non è arrivata...
P.S.: Per quanto ne so io potrebbe anche essere falso questo fatto che sto cercando di dimostrare!!
Grazie!
(Con la notazione $D_vf(x)$ ho indicato la derivata direzionale rispetto a $v$ di $f$)
Risposte
\[ D_v f(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+hv) - f(x)}{h}, \qquad
D_{-v} f(x) = \lim_{k\to 0} \frac{f(x-kv) - f(x)}{k} \]
Nel secondo limite prova a fare il cambio di variabile \( h = -k\).
D_{-v} f(x) = \lim_{k\to 0} \frac{f(x-kv) - f(x)}{k} \]
Nel secondo limite prova a fare il cambio di variabile \( h = -k\).
come perdersi in una goccia d'acqua... grazie mille!
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