Dubbio atroce massimi e minimi
Sul libro di esercizi del marcellini sbordone c'è scritto che quando gli input della funzione $f(x,y)$ sono vincolati a variare su di una curva regolare, allora i massimi ed i minimi relativi possono essere determinati esprimendo la curva in forma parametrica ad esempio e andando a studiare i massimi e i minimi relativi della funzione composta di una variabile $f(x(t),y(t))$, $t in [a,b]$. La funzione di una variabile di cui occorre studiarene i massimi e i minimi relativi non è $f(x(t),y(t))$, ma $f(x(t),y(t))$, $t in [a,b]$, cioè gli input di questa funzione sono limitati a variare nell'intervallo chiuso evidenziato. Ora il mio problema è che sebbene i libri dicano ciò, all'atto pratico nello svolgimento degli esercizi non considerano mai fra i punti di massimo o di minimo relativo della funzione di una variabile scritta precedentemente anche gli estremi $a$ e $b$ dell'intervallo $[a,b]$.
Faccio un esempio pratico. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione $f(x,y)=xy$, al variare di $(x,y)$ sulla circonferenza di centro l'origine e raggio uno. Il libro parametrizza la circonferenza come $(cost, sint)$, $t in [a,b]$ quindi restringe la $f(x,y)$ alla curva ottenendo la funzione di una variabile $f(x(t),y(t))=cost*sint=(1/2)sin(2t)$, $t in [0,2pi]$. A questo punto trova i punti in cui la derivata si annulla e vede se sono di massimo o minimo relativo per la funzione composta. Però non si preoccupa di dire che i punti all'estremo dell'intervallo, cioè $0$ e $2pi$, sono estremi relativi per la funzione composta, contrariamente a quanto detto nella teoria. Come mai?
Spero di essere stato chiaro, grazie!
Faccio un esempio pratico. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione $f(x,y)=xy$, al variare di $(x,y)$ sulla circonferenza di centro l'origine e raggio uno. Il libro parametrizza la circonferenza come $(cost, sint)$, $t in [a,b]$ quindi restringe la $f(x,y)$ alla curva ottenendo la funzione di una variabile $f(x(t),y(t))=cost*sint=(1/2)sin(2t)$, $t in [0,2pi]$. A questo punto trova i punti in cui la derivata si annulla e vede se sono di massimo o minimo relativo per la funzione composta. Però non si preoccupa di dire che i punti all'estremo dell'intervallo, cioè $0$ e $2pi$, sono estremi relativi per la funzione composta, contrariamente a quanto detto nella teoria. Come mai?
Spero di essere stato chiaro, grazie!
Risposte
"lisdap":
Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione $f(x,y)=xy$, al variare di $(x,y)$ sulla circonferenza di centro l'origine e raggio uno. Il libro parametrizza la circonferenza come $(cost, sint)$, $t in [a,b]$ quindi restringe la $f(x,y)$ alla curva ottenendo la funzione di una variabile $f(x(t),y(t))=cost*sint=(1/2)sin(2t)$, $t in [0,2pi]$. A questo punto trova i punti in cui la derivata si annulla e vede se sono di massimo o minimo relativo per la funzione composta. Però non si preoccupa di dire che i punti all'estremo dell'intervallo, cioè $0$ e $2pi$, sono estremi relativi per la funzione composta
Potresti spiegarti meglio?
Non vedo quale sia il problema. Perché dovrebbero interessarti i $t$ esterni a $[0,2\pi]$?
Neanche io capisco molto bene... la circonferenza non è una linea chiusa?
A Plepp: non mi sto preoccupando dei punti esterni ad $[a,b]$, ma degli ESTREMI di $[a,b]$, cioè di a e di b, cosa di cui invece il libro non si preoccupa. In questi punti la funzione composta non è derivabile, però essi sono comunque di min/max rel.
la "funzione composta" in questo caso non è $f = 1/2 sin(2t)$? è di classe $C^{\infty}$ su tutto $R$.
forse non ho colto il problema.
forse non ho colto il problema.
"lisdap":
A Plepp: non mi sto preoccupando dei punti esterni ad $[a,b]$, ma degli ESTREMI di $[a,b]$, cioè di a e di b, cosa di cui invece il libro non si preoccupa. In questi punti la funzione composta non è derivabile, però essi sono comunque di min/max rel.
Scusami avevo letto male!
Come sarebbe a dire che in quei punti $1/2\sin 2t$ non è derivabile?
"Plepp":
[quote="lisdap"]A Plepp: non mi sto preoccupando dei punti esterni ad $[a,b]$, ma degli ESTREMI di $[a,b]$, cioè di a e di b, cosa di cui invece il libro non si preoccupa. In questi punti la funzione composta non è derivabile, però essi sono comunque di min/max rel.
Scusami avevo letto male!
Come sarebbe a dire che in quei punti $1/2\sin 2t$ non è derivabile?[/quote]Beh la funzione composta ha per dominio l'intervallo chiuso, e agli estremi dell'intervallo una funzione non può essere derivabile, o no?
Mica vero.
$1/2sin(2t)$ è continua e derivabile in $RR$, e a maggior ragione è continua e derivabile nell sottoinsieme $[0, 2pi] subset RR$. D'altronde si verifica facilmente che $D[1/2sin(2t)]=cos(2t)$ è definita nel'intero intervallo considerato.
EDIT:
Non mi sono accorto che già Ziel van brand l'aveva fatto notare
$1/2sin(2t)$ è continua e derivabile in $RR$, e a maggior ragione è continua e derivabile nell sottoinsieme $[0, 2pi] subset RR$. D'altronde si verifica facilmente che $D[1/2sin(2t)]=cos(2t)$ è definita nel'intero intervallo considerato.
EDIT:
Non mi sono accorto che già Ziel van brand l'aveva fatto notare
"Brancaleone":
Mica vero.
$1/2sin(2t)$ è continua e derivabile in $RR$, e a maggior ragione è continua e derivabile nell sottoinsieme $[0, 2pi] subset RR$. D'altronde si verifica facilmente che $D[1/2sin(2t)]=cos(2t)$ è definita nel'intero intervallo considerato.
EDIT:
Non mi sono accorto che già Ziel van brand l'aveva fatto notare
Non sono d'accordo. Noi non stiamo considerando la funzione $1/2sin(2t)$, ma la funzione $1/2sin(2t)$ con la condizione che gli input possono variare soltanto in $[0,2pi]$, ed agli estremi dell'intervallo esiste solo la derivata rispettivamente destra e sinistra, quindi non è derivabile negli estremi. Insomma secondo me si tratta di un esempio banale di funzione "vincolata".
Facciamo un po' d'ordine. Il problema non è decidere o meno se si può definire la nozione di derivabilità anche agli estremi di un intervallo. Il problema è che nella ricerca dei massimi e dei minimi relativi la situazione agli estremi va discussa separatamente (Analisi I, teorema di Fermat). Infatti negli estremi cade la necessità della condizione di annullamento della derivata per i punti estremanti.
"lisdap":
Faccio un esempio pratico. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione $f(x,y)=xy$, al variare di $(x,y)$ sulla circonferenza di centro l'origine e raggio uno. Il libro parametrizza la circonferenza come $(cost, sint)$, $t in [a,b]$ quindi restringe la $f(x,y)$ alla curva ottenendo la funzione di una variabile $f(x(t),y(t))=cost*sint=(1/2)sin(2t)$, $t in [0,2pi]$. A questo punto trova i punti in cui la derivata si annulla e vede se sono di massimo o minimo relativo per la funzione composta. Però non si preoccupa di dire che i punti all'estremo dell'intervallo, cioè $0$ e $2pi$, sono estremi relativi per la funzione composta, contrariamente a quanto detto nella teoria. Come mai?
Spero di essere stato chiaro, grazie!
Allora io non ho capito...
lungo la nostra circonferenza non vedo estremi...
e comunque l'angolo varia nell'intervallo $[0;2pi)$ $2pi$ è escluso.
"lisdap":
[quote="Brancaleone"]Mica vero.
$1/2sin(2t)$ è continua e derivabile in $RR$, e a maggior ragione è continua e derivabile nell sottoinsieme $[0, 2pi] subset RR$. D'altronde si verifica facilmente che $D[1/2sin(2t)]=cos(2t)$ è definita nel'intero intervallo considerato.
EDIT:
Non mi sono accorto che già Ziel van brand l'aveva fatto notare
Non sono d'accordo. Noi non stiamo considerando la funzione $1/2sin(2t)$, ma la funzione $1/2sin(2t)$ con la condizione che gli input possono variare soltanto in $[0,2pi]$, ed agli estremi dell'intervallo esiste solo la derivata rispettivamente destra e sinistra, quindi non è derivabile negli estremi. Insomma secondo me si tratta di un esempio banale di funzione "vincolata".[/quote]
Negli estremi non è necessario che esistano entrambe le derivate. Se riguardi la definizione di limite e pensi alla derivata come un limite, ti risulta evidente.
"Plepp":
Negli estremi non è necessario che esistano entrambe le derivate. Se riguardi la definizione di limite e pensi alla derivata come un limite, ti risulta evidente.
Ciao, vediamo se ho capito. Consideriamo la funzione $sqrtx$, definita solo per gli $x>=0$. Mi stai dicendo che, applicando la definizione di limite (non di limite destro o sinistro, ma quella normale), la funzione "tende a 0 per $x$ tendente a 0"?
"lisdap":
Ciao, vediamo se ho capito. Consideriamo la funzione $sqrtx$, definita solo per gli $x>=0$. Mi stai dicendo che, applicando la definizione di limite (non di limite destro o sinistro, ma quella normale), la funzione "tende a 0 per $x$ tendente a 0"?
Esatto, hai capito.
"lisdap":
[quote="Plepp"]
Negli estremi non è necessario che esistano entrambe le derivate. Se riguardi la definizione di limite e pensi alla derivata come un limite, ti risulta evidente.
Ciao, vediamo se ho capito. Consideriamo la funzione $sqrtx$, definita solo per gli $x>=0$. Mi stai dicendo che, applicando la definizione di limite (non di limite destro o sinistro, ma quella normale), la funzione "tende a 0 per $x$ tendente a 0"?[/quote]
Sì, per esempio. Ricordiamo la solita definizione di limite:
Consideriamo $f:X\subseteq RR\to RR$; siano $x_0\in\text{Dr}(X)$ in $\bar{RR}$ e $L\in \bar{RR}$. Diciamo che $L$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$, e in tal caso scriviamo $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$, se
\[\forall V\in \mathcal{I}_{L},\quad \exists U\in\mathcal{I}_{x_0}: \forall x\in U\cap X\setminus\{x_0\}, f(x)\in V \]
(con $I_{P}$ denoto l'insieme degli intorni del punto $P$).
Applichiamo la definizione al caso che hai citato, per cui $X=\{x\in RR\ |\ x\ge 0\}$; poniamo $f(x) := \sqrt{x}$. Prendiamo un intorno $V$ di $L=0$: vogliamo provare che esiste un intorno $U$ di $x_0=0$ tale che $\forall x\in U\cap X\setminus \{0\}$ risulti $f(x)\in V$.
Bene, come ben sai un intorno (circolare) di $0$ è un intervallo aperto del tipo $(-r,r)$ ($r>0$); fissato dunque $V=(-\epsilon,\epsilon)$, vogliamo determinare $U=(-\delta,\delta)$ tale che $f(x)\in (-\epsilon,\epsilon)$ se $x\in (-\delta,\delta)\cap X\setminus \{0\}=(0,\delta)$: questo è il succo della questione, poco ci interessa dei punti che non appartengono al dominio (né c'importa qualcosa di quel che accade proprio in $x_0$). Salta subito all'occhio che è sufficiente prendere $\delta=\epsilon^2$ per ottenere quel che vuoi.
Potrebbe sorgere spontanea la domanda: "ma allora, come da teoria, anche il limite destro e il limite sinistro di $f$ in $x_0$ esistono e coincidono con $L$?" No. Da teoria, in effetti, vale l'equivalenza
\[[\exists\lim_{x\to x_0}f(x)=L]\iff [\exists\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_+\wedge \exists\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_-\wedge L_+=L_-=L]\]
solamente se $x_0$ è un punto di accumulazione sia da destra che da sinistra per $X$. In questo caso, evidentemente, non ci siamo: $x_0=0$ è solo un punto di accumulazione da destra per $[0,+\infty)$.
Spero di aver cancellato il tuo atroce dubbio
A rigel e plepp: ok, bene 
C'è però un problema (o meglio, vedo un problema). Ricapitolando, abbiamo che la nostra funzione $sqrtx$:
1) tende a $0$ per $x$ tendente a $0$;
2) tende a $0$ per $x$ tendente a $0^(+)$ (lo si vede applicando la definizione di limite destro);
3) la funzione invece non soddisfa la proprietà data dalla definizione di limite sinistro, quindi diciamo che essa non tende a $0$ per $x$ tendente a $0^(-)$ (e ciò è intuitivamente ovvio visto che $sqrtx$ è definita solo per $x>=0$).
Ora sul pagani salsa pag 163 c'è un teorema che dice: "condizione necessaria e sufficiente perché esista il $lim_(x->x_0) f(x)$ è che esistano il limite destro ($x->x_0^(+)$) e sinistro ($x->x_0^(-)$) e siano uguali.
Le ipotesi di questo teorema sono
IPOTESI: esiste il limite destro, esiste il limite sinistro, e sono uguali;
TESI: esiste $lim_(x->x_0) f(x)$
Trattandosi, come detto, di una condizione necessaria e sufficiente, io deduco:
1) se prendo una funzione che ammette limite destro e sinistro e trovo che essi sono uguali, allora posso subito concludere per mezzo del teorema che esiste anche il limite "normale";
2) se anche una sola delle ipotesi del teorema non è verificata, deduco che la tesi non è verificata.
Nel nostro caso, l'ipotesi che esista il limite sinistro non è verificata. Quindi per mezzo del teorema si dovrebbe concludere che non esiste $lim_(x->0) sqrtx$; tuttavia, abbiamo dimostrato che esiste e vale $0$. COme si risolve dunque questa contraddizione (per me)?
Grazie!
C'è però un problema (o meglio, vedo un problema). Ricapitolando, abbiamo che la nostra funzione $sqrtx$:
1) tende a $0$ per $x$ tendente a $0$;
2) tende a $0$ per $x$ tendente a $0^(+)$ (lo si vede applicando la definizione di limite destro);
3) la funzione invece non soddisfa la proprietà data dalla definizione di limite sinistro, quindi diciamo che essa non tende a $0$ per $x$ tendente a $0^(-)$ (e ciò è intuitivamente ovvio visto che $sqrtx$ è definita solo per $x>=0$).
Ora sul pagani salsa pag 163 c'è un teorema che dice: "condizione necessaria e sufficiente perché esista il $lim_(x->x_0) f(x)$ è che esistano il limite destro ($x->x_0^(+)$) e sinistro ($x->x_0^(-)$) e siano uguali.
Le ipotesi di questo teorema sono
IPOTESI: esiste il limite destro, esiste il limite sinistro, e sono uguali;
TESI: esiste $lim_(x->x_0) f(x)$
Trattandosi, come detto, di una condizione necessaria e sufficiente, io deduco:
1) se prendo una funzione che ammette limite destro e sinistro e trovo che essi sono uguali, allora posso subito concludere per mezzo del teorema che esiste anche il limite "normale";
2) se anche una sola delle ipotesi del teorema non è verificata, deduco che la tesi non è verificata.
Nel nostro caso, l'ipotesi che esista il limite sinistro non è verificata. Quindi per mezzo del teorema si dovrebbe concludere che non esiste $lim_(x->0) sqrtx$; tuttavia, abbiamo dimostrato che esiste e vale $0$. COme si risolve dunque questa contraddizione (per me)?
Grazie!
mmm... e quando facciamo il limite per $x->+oo$ stiamo facendo solo il limite sinistro?
@Lisdap: cosa della mia risposta non ti soddisfa? 
Questa tua considerazione era prevedibile e naturale, quindi ti avevo già scritto a riguardo:
Nel caso di $\sqrt{x}$, non ha senso parlare di limite sinistro in $0$.
PS. Ma dico io - e mi permetto di dirlo in virtù della nostra amicizia virtuale: sei un ingegnere cacchio perché complicarti la vita in questo modo?
Questa tua considerazione era prevedibile e naturale, quindi ti avevo già scritto a riguardo:"Plepp":
Potrebbe sorgere spontanea la domanda: "ma allora, come da teoria, anche il limite destro e il limite sinistro di $f$ in $x_0$ esistono e coincidono con $L$?" No. Da teoria, in effetti, vale l'equivalenza
\[[\exists\lim_{x\to x_0}f(x)=L]\iff [\exists\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_+\wedge \exists\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_-\wedge L_+=L_-=L]\]
solamente se $x_0$ è un punto di accumulazione sia da destra che da sinistra per $X$. In questo caso, evidentemente, non ci siamo: $x_0=0$ è solo un punto di accumulazione da destra per $[0,+\infty)$.
Nel caso di $\sqrt{x}$, non ha senso parlare di limite sinistro in $0$.
PS. Ma dico io - e mi permetto di dirlo in virtù della nostra amicizia virtuale: sei un ingegnere cacchio
perché complicarti la vita in questo modo?
"lisdap":
3) la funzione invece non soddisfa la proprietà data dalla definizione di limite sinistro, quindi diciamo che essa non tende a $0$ per $x$ tendente a $0^(-)$ (e ciò è intuitivamente ovvio visto che $sqrtx$ è definita solo per $x>=0$).
Ora sul pagani salsa pag 163 c'è un teorema che dice: "condizione necessaria e sufficiente perché esista il $lim_(x->x_0) f(x)$ è che esistano il limite destro ($x->x_0^(+)$) e sinistro ($x->x_0^(-)$) e siano uguali.
Le ipotesi di questo teorema sono
IPOTESI: esiste il limite destro, esiste il limite sinistro, e sono uguali;
TESI: esiste $lim_(x->x_0) f(x)$
Trattandosi, come detto, di una condizione necessaria e sufficiente, io deduco:
1) se prendo una funzione che ammette limite destro e sinistro e trovo che essi sono uguali, allora posso subito concludere per mezzo del teorema che esiste anche il limite "normale";
2) se anche una sola delle ipotesi del teorema non è verificata, deduco che la tesi non è verificata.
Nel nostro caso, l'ipotesi che esista il limite sinistro non è verificata. Quindi per mezzo del teorema si dovrebbe concludere che non esiste $lim_(x->0) sqrtx$; tuttavia, abbiamo dimostrato che esiste e vale $0$. COme si risolve dunque questa contraddizione (per me)?
Oltre quanto appena affermato da Plepp, ti riporto definizione e osservazione presenti sul Bramanti-Pagani-Salsa (ed. 2008, pag. 115-116) sperando possano toglierti ogni dubbio.
Talvolta una funzione si comporta diversamente (dal punto di vista del suo limite) a seconda che $x$ si avvicini a $c$ da destra o da sinistra. Ad esempio, per $x->0$ la funzione $1/x$ diventa sempre più grande in valore assoluto, ma con un segno diverso a che seconda che sia $x>0$ o $x<0$. Per descrivere questo tipo di situazioni, si introduce il concetto di limite destro e sinistro.
Limite destro e sinistro. Se $c in RR$ e $l in RR**$, con $RR**=RR cup \{-oo\} cup \{+oo\}$, si dice che
$lim_{x -> c^+} f(x)=l$ (rispettivamente $lim_{x -> c^-} f(x)=l$),
e in tal caso si dice che il limite destro (sinistro) di $f(x)$ per $x$ tendente a $c$ è $l$, se per ogni successione $\{x_n\}$ di punti di $I$ tali che $x_n->c^+$ ($x_n->c^-$) per $n->+oo$ e $x_n ne c forall n$, si ha che $f(x_n)->c$ per $n->oo$.
Ad esempio,
\[\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}=+\infty\] e \[\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{1}{x}=-\infty\]
come si verifica facilmente. Si noti che, invece,
\[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=\text{ non esiste!}\]
Più in generale:
il limite $lim_(x->c)f(x)=l$ esiste se e solo se esistono, e sono entrambi uguali a $l$, i limiti destro e sinistro $lim_(x->c^+)f(x)$, $lim_(x->c^-)f(x)$; tuttavia, può accadare che i limiti destro e sinistro esistano ma siano diversi tra loro, oppure uno solo dei due esista: in questi casi $lim_(x->c)f(x)$ non esiste
@Brancaleone: no no, l'ultima frase (quella sottolineata) è fuorviante e falsa mettendoci nella massima generalità. Probabilmente questo testo ha trattato solo i casi in cui $c$ è un punto di accumulazione ma non di frontiera per il dominio $I$, sicché sicuramente risulta essere di accumulazione sia da destra che da sinistra.
A Plepp, allora, la prima parte della tua risposta l'ho capita. Ho dei dubbi sullòa seconda parte. Infatti tu enunci un teorema che sul pagani-salsa e sul bramanti-pagani-salsa è enunciato come ha riportato brancaleone (in modo diverso dal tuo). Basandomi non sul teorema da te enunciato, ma su quello enunciato da brancaleone, io trovo una contraddizione, in quanto $sqrtx$ tende a $0$ per $x$ tendente a $0$ nonostante che il limite sinistro non esista!
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