Dubbio atroce massimi e minimi
Sul libro di esercizi del marcellini sbordone c'è scritto che quando gli input della funzione $f(x,y)$ sono vincolati a variare su di una curva regolare, allora i massimi ed i minimi relativi possono essere determinati esprimendo la curva in forma parametrica ad esempio e andando a studiare i massimi e i minimi relativi della funzione composta di una variabile $f(x(t),y(t))$, $t in [a,b]$. La funzione di una variabile di cui occorre studiarene i massimi e i minimi relativi non è $f(x(t),y(t))$, ma $f(x(t),y(t))$, $t in [a,b]$, cioè gli input di questa funzione sono limitati a variare nell'intervallo chiuso evidenziato. Ora il mio problema è che sebbene i libri dicano ciò, all'atto pratico nello svolgimento degli esercizi non considerano mai fra i punti di massimo o di minimo relativo della funzione di una variabile scritta precedentemente anche gli estremi $a$ e $b$ dell'intervallo $[a,b]$.
Faccio un esempio pratico. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione $f(x,y)=xy$, al variare di $(x,y)$ sulla circonferenza di centro l'origine e raggio uno. Il libro parametrizza la circonferenza come $(cost, sint)$, $t in [a,b]$ quindi restringe la $f(x,y)$ alla curva ottenendo la funzione di una variabile $f(x(t),y(t))=cost*sint=(1/2)sin(2t)$, $t in [0,2pi]$. A questo punto trova i punti in cui la derivata si annulla e vede se sono di massimo o minimo relativo per la funzione composta. Però non si preoccupa di dire che i punti all'estremo dell'intervallo, cioè $0$ e $2pi$, sono estremi relativi per la funzione composta, contrariamente a quanto detto nella teoria. Come mai?
Spero di essere stato chiaro, grazie!
Faccio un esempio pratico. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione $f(x,y)=xy$, al variare di $(x,y)$ sulla circonferenza di centro l'origine e raggio uno. Il libro parametrizza la circonferenza come $(cost, sint)$, $t in [a,b]$ quindi restringe la $f(x,y)$ alla curva ottenendo la funzione di una variabile $f(x(t),y(t))=cost*sint=(1/2)sin(2t)$, $t in [0,2pi]$. A questo punto trova i punti in cui la derivata si annulla e vede se sono di massimo o minimo relativo per la funzione composta. Però non si preoccupa di dire che i punti all'estremo dell'intervallo, cioè $0$ e $2pi$, sono estremi relativi per la funzione composta, contrariamente a quanto detto nella teoria. Come mai?
Spero di essere stato chiaro, grazie!
Risposte
Probabilmente, ci sono delle ipotesi su $c$ che sono state fatte in precedenza, tipo all'inizio del capitolo. Ad ogni modo, se non ti fidi di me (e fai bene, non mi fiderei nemmeno io di me se a contraddirmi - apparentemente - fosse un libro 
) prova un po' a dimostrare quanto detto dal libro, togliendo l'ipotesi che $c$ sia di accumulazione a destra e a sinistra!
EDIT: avevo letto male
ho capito bene? state parlando del BRAMANTI-Pagani-Salsa o del Pagani-Salsa?
) prova un po' a dimostrare quanto detto dal libro, togliendo l'ipotesi che $c$ sia di accumulazione a destra e a sinistra!EDIT: avevo letto male
ho capito bene? state parlando del BRAMANTI-Pagani-Salsa o del Pagani-Salsa?
Beh però se proviamo con la definizione di continuità che non usa il concetto di limite si capisce subito che $sqrt(x)$ è continua in $0$...
" Sia $x_0 in dom f$ . La funzione dicesi continua in $x_0$ se:
$AA \epsilon > 0$ $ EE \delta > 0$, tale che $AA x in dom f, |x - x_0| < \delta => |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$"
" Sia $x_0 in dom f$ . La funzione dicesi continua in $x_0$ se:
$AA \epsilon > 0$ $ EE \delta > 0$, tale che $AA x in dom f, |x - x_0| < \delta => |f(x)-f(x_0)| < \epsilon$"
A plepp: sia il pagani-salsa, sia il bramanti pagani salsa affermano che: condizione necessaria e sufficiente perché esista il $lim_(x->x_0) f(x)$ è che esistano il limite destro ($x->x_0^(+)$) e sinistro ($x->x_0^(-)$) e siano uguali.
Nel nostrto caso, esiste solo il limite normale e quello destro. Come fa ciò ad essere compatibile con il teorema sopra enunciato?
Nel nostrto caso, esiste solo il limite normale e quello destro. Come fa ciò ad essere compatibile con il teorema sopra enunciato?
Lisdap, se proprio vuoi impelagarti in queste situazioni qua, non essere "passivo" Sporcati le mani e verifica tu!
Se proprio non ti va, la risposta la trovi - se non erro - su Acerbi, Buttazzo - Primo corso di Analisi Matematica, un libro fatto a libro a mio parere.
Sporcati le mani e verifica tu!Se proprio non ti va, la risposta la trovi - se non erro - su Acerbi, Buttazzo - Primo corso di Analisi Matematica, un libro fatto a libro a mio parere.
[ot]semi OT
ho l'impressione che lisdap sia più interessato a dimostrare che il suo libro è ambiguo piuttosto che a migliorare se stesso[/ot]
ho l'impressione che lisdap sia più interessato a dimostrare che il suo libro è ambiguo piuttosto che a migliorare se stesso[/ot]
Penso sia assodato che $\sqrt{x}\to 0$ per $x\to 0$ e per $x\to 0^+$ (non mettiamo in dubbio anche questo, ti prego). Ora tu, leggendo quella proposizione, pretendi che $\exists\lim_{x\to 0^-}\sqrt{x}$.
Vuoi vedere che succede se calcoliamo quel limite infischiandocene del fatto che $x_0=0$ non è di accumulazione a sinistra per $[0,+\infty)$?
Bene, applicando la definizione, $\forall V$ intorno di $L=0$ dovremmo trovare $U$ intorno sinistro di $x_0=0$ (ovvero un intervallo aperto del tipo $(-\delta, 0)$!) tale che $\forall x\in U\cap X\setminus\{0\}$ si abbia $f(x)\in V$ ovvero (udite udite...) $\forall x\in \emptyset$ (!) si abbia che $f(x)\in V$.
Per questo scopo, va bene un qualsiasi intorno sinistro di $x_0$: infatti $\forall U$ intorno sinistro di $x_0=0$, si ha che
\[U\cap X\setminus\{0\}=\emptyset\]
e la proposizione
\[[(x\in \emptyset)\implies f(x)\in V]\]
è VERA, come anche
\[[(x\in \emptyset)\implies \text{io sono il papa}]\]
Quindi, anziche un intorno di $L=0$, lì ci posso mettere tranquillamente un intorno di $1$, ché l'implicazione sussiste comunque. Quindi avremmo
\[\lim_{x\to 0^-}\sqrt{x}= 0=1\ (=2=3=\pi=\cdots) \tag{!} \]
Vuoi vedere che succede se calcoliamo quel limite infischiandocene del fatto che $x_0=0$ non è di accumulazione a sinistra per $[0,+\infty)$?
Bene, applicando la definizione, $\forall V$ intorno di $L=0$ dovremmo trovare $U$ intorno sinistro di $x_0=0$ (ovvero un intervallo aperto del tipo $(-\delta, 0)$!) tale che $\forall x\in U\cap X\setminus\{0\}$ si abbia $f(x)\in V$ ovvero (udite udite...) $\forall x\in \emptyset$ (!) si abbia che $f(x)\in V$.
Per questo scopo, va bene un qualsiasi intorno sinistro di $x_0$: infatti $\forall U$ intorno sinistro di $x_0=0$, si ha che
\[U\cap X\setminus\{0\}=\emptyset\]
e la proposizione
\[[(x\in \emptyset)\implies f(x)\in V]\]
è VERA, come anche
\[[(x\in \emptyset)\implies \text{io sono il papa}]\]
Quindi, anziche un intorno di $L=0$, lì ci posso mettere tranquillamente un intorno di $1$, ché l'implicazione sussiste comunque. Quindi avremmo\[\lim_{x\to 0^-}\sqrt{x}= 0=1\ (=2=3=\pi=\cdots) \tag{!} \]
"lisdap":
A rigel e plepp: ok, bene
C'è però un problema (o meglio, vedo un problema). Ricapitolando, abbiamo che la nostra funzione $sqrtx$:
1) tende a $0$ per $x$ tendente a $0$;
2) tende a $0$ per $x$ tendente a $0^(+)$ (lo si vede applicando la definizione di limite destro);
3) la funzione invece non soddisfa la proprietà data dalla definizione di limite sinistro, quindi diciamo che essa non tende a $0$ per $x$ tendente a $0^(-)$ (e ciò è intuitivamente ovvio visto che $sqrtx$ è definita solo per $x>=0$).
Ora sul pagani salsa pag 163 c'è un teorema che dice: "condizione necessaria e sufficiente perché esista il $lim_(x->x_0) f(x)$ è che esistano il limite destro ($x->x_0^(+)$) e sinistro ($x->x_0^(-)$) e siano uguali.
Le ipotesi di questo teorema sono
IPOTESI: esiste il limite destro, esiste il limite sinistro, e sono uguali;
TESI: esiste $lim_(x->x_0) f(x)$
Trattandosi, come detto, di una condizione necessaria e sufficiente, io deduco:
1) se prendo una funzione che ammette limite destro e sinistro e trovo che essi sono uguali, allora posso subito concludere per mezzo del teorema che esiste anche il limite "normale";
2) se anche una sola delle ipotesi del teorema non è verificata, deduco che la tesi non è verificata.
Nel nostro caso, l'ipotesi che esista il limite sinistro non è verificata. Quindi per mezzo del teorema si dovrebbe concludere che non esiste $lim_(x->0) sqrtx$; tuttavia, abbiamo dimostrato che esiste e vale $0$. COme si risolve dunque questa contraddizione (per me)?
Grazie!
Ovviamente l'ipotesi fndamentale per parlare di limite destro e sinistro contemporaneamente è che \(x_0\) sia un p.d.a. per \(\operatorname{Dom} f\) sia a destra che a sinistra, i.e. che in entrambi gli insiemi \(\operatorname{Dom} f\cap ]x_0,+\infty[\) e \(\operatorname{Dom} f\cap ]-\infty ,x_0[\) cadano infiniti punti.
Quindi il teorema citato va da sé che funziona solo in questa ipotesi, altrimenti non avrebbe senso di parlare di entrambi i limiti delle restrizioni.
Tuttavia, se una delle due ipotesi non è soddisfatta, ad esempio se in \(\operatorname{Dom} f\cap ]-\infty ,x_0[\) non cadono infiniti punti, allora discende automaticamente dalla definizione di limite l'uguaglianza:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x)\; ,
\]
a patto che almeno uno dei due limiti esista.
@ gio73: Quel che dici non è una novità.
Tuttavia lisdap solleva un problema reale: alcuni libri editati per i nuovi ordinamenti, tra cui il BPS, sono davvero brutti se confrontati con le edizioni precedenti.
@Gugo: grazie per l'appoggio sono d'accordissimo sull'ultima affermazione...
sono d'accordissimo sull'ultima affermazione...
A Plepp, ok. Quindi l'errore che ho commesso è consistito nel dire frettolosamente che $sqrtx$ non tendeva a $0$ per $x$ tendente a $0^(-)$, quando in realtà tu mi hai dimostrato che questa affermazione è vera. Di conseguenza non ci sono contraddizioni con il teorema, giusto?
"lisdap":
A Plepp, ok. Quindi l'errore che ho commesso è consistito nel dire frettolosamente che $sqrtx$ non tendeva a $0$ per $x$ tendente a $0^(-)$, quando in realtà tu mi hai dimostrato che questa affermazione è vera. Di conseguenza non ci sono contraddizioni con il teorema, giusto?
No Lisdap, no; Gugo non avrebbe potuto essere più chiaro. Io non ti ho dimostrato nulla: quello che ti ho fatto vedere, è quel che succede quando calcoliamo un limite per $x\to c^-$ fregandocene del fatto che $c$ NON è un punto di accumulazione da sinistra (per il dominio di $f$ s'intende).
Quello che ti sto ripetendo da parecchi post è un altro fatto: checché ne dica il Bramanti-Pagani-Salsa, il teorema che avete enunciato tu e Brancaleone (ovvero quello per il quale
\[\left[ \exists \lim_{x\to c} f(x)=L \right]\iff \left[ \exists\lim_{x\to c^+}f(x)=L_+ \ \wedge\ \exists\lim_{x\to c^-}f(x)=L_-\ \wedge\ L_+=L_-=L \right] \]
) è vero SOLO SE si suppone che $c$ sia un punto di accumulazione da destra e da sinistra, fatto che non sempre si verifica*. Altrimenti l'equivalenza ($\iff$) non sussiste. L'esempio (o chiamarlo controesempio a questo punto?
) di $\sqrt x$ ti dovrebbe convincere: abbiamo visto (questo sì, l'abbiam dimostrato) che $\exists\lim_{x\to 0}\sqrt x=0$, e che questo coincide con il limite destro (i due concetti, in questo caso, sono IDENTICI: prova). Tuttavia, il benedettissimo limite sinistro, in $0$, non è che non esiste, ma non ha nemmeno senso calcolarlo!A supporto di tutto questo mio discorso, la pagina 274 di Acerbi-Buttazzo, Primo corso di Analisi matematica, Proposizione 6.10; l'enunciato inizia così: se hanno senso i limiti da destra e da sinistra per $x\to x_\star$, allora [...]. Il seguito lo conosci. Se non ricordo male, anche il Cecconi-Stampacchia mette in evidenza questo fatto.
Ci siamo intesi?
P.S.: il BPS non lo tocco da due anni, e ora l'ho prestato ad un mio amico ingegnere. Potresti riportare, in breve, la dimostrazione che dà di questo fatto? Magari (anzi, sicuramente) da lì potrai dedurre che l'autore fa tacitamente uso dell'ipotesi di cui abbiamo parlato fin'ora.
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*Come ben ricorderai, se $c$ è un punto di accumulazione da sinistra e da destra, allora esso è di accumulazione, ma non vale il viceversa.
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