Dubbio

[Nebula2]

toglietemi un dubbio.

$f:RR^nrarrRR

$int_{f<=e^{-|x|^2}}f|log(f)|<=int_{f<=e^{-|x|^2}}e^{-|y|^2}|y|^2dy


è falso, dato che $f<1$ e che $|log|$ è decrescente prima di 1, vero?

[_Tipper]

Io, sinceramente, non ho capito questa scritura...

[Nebula2]

f è una funzione da $RR^n$ in $RR$.

il primo integrale è l'integrale di f moltiplicato per il modulo del logaritmo di f nella regione di piano in cui f assume valori minori o uguali alla funzione $xrarre^{-|x|^2}$.

il secondo integrale è sulla stessa regione di piano e la funzione integranda è $e^{-|y|^2}|y|^2

[Nebula2]

....nessuno???

[Thomas16]

il tuo integrale non è ben definito se la f assume valori negativi (il logaritmo....)...

cmq a me pare che la stima torni per f positiva, nel dominio dato la funzione integranda a sinistra viene maggiorata per ogni punto da quella a destra....

[Nebula2]

hai ragione, mi ero scordato di scrivere che $f<=1$. sorry.

cmq, il mio dubbio veniva dal fatto che che nel dominio di integrazione $f<=e^{-x^2}<1 => |log(f)|>=x^2$.
non è così?
quindi, la disuguaglianza tra gli integrali non è sbagliata?

[Thomas16]

"Nebula":hai ragione, mi ero scordato di scrivere che $f<=1$. sorry.

che $f<=1$ segue da $f(y)<=e^(-|y^2|)$, il punto è che deve essere $f>=0$... cmq forse hai ragione... avevo sbagliato a vedere una dis...

[Nebula2]

ok, la dilsessia avanza, volevo scrivere $f>0$. forse devo ricominciare a prendere quelle pilloline colorate...

cmq... forse??? scusa l'insistenza ma avrei abbastanza bisogno/voglia di essere sicuro...

[Thomas16]

beh sinceramente gli studi di funzione non mi piacciono molto ...

devi semplicemente calcolare fissato $x$ il sup$_(y<=e^(-x^2)) y|log(y)|$ se questo ti viene maggiore di $e^(-x^2)*x^2$ in un insieme di misure non nulla, hai finito perchè basta definire una funzione pari a questo sup in questo insieme e $3$ (un valore maggiore di 1) altrimenti.

Altrimenti la disuguaglianza è vera....

ps: se non capisci a cosa serve quel sup chiedi;

ps2: per calcolare quel sup suggerirei metodi grafici... se avessi un bel programmino che disegni funzioni

[Nebula2]

mi sa che stiamo facendo un po' confusione...
la $x$ non c'entra nulla.

per chiarirsi, diciamo

$f:RR^nrarr(0,oo)
$g:RR^nrarr(0,1)

$int_{f<=g}f|log(f)|<=int_{f<=g}g|log(g)|

il motivo per cui penso sia falso è che $|log|$ è decrescente in $(0,1) => |log(f)|>=|log(g)|

[Thomas16]

così cambi le carte in tavola...

il tuo motivo è una supposizione visto che hai un prodotto là in mezzo... ed i termini del prodotto hanno tendenze diverse...

rileggi il mio post precedente... ti dice come costruire una f (se esiste) che falsifica la disuguaglianza (la y sarebbe la f(x) che cerchi).... ed in caso contrario ti dice che non esiste...

[Nebula2]

non cambio le carte in tavola, se scrivi $g:=e^{-|x|^2}$ hai ciò che avevo scritto prima.

cmq, il fatto che i fattori del prodotto abbiano tendenze diverse è quello che intendo anch'io.

la mia "speranza" è che la disuguaglianza tra gli integrali sia falsa non nel senso che il $<=$ debba essere sostituito da $>=$, ma nel senso che un integrale non è a priori $<=$ o $>=$ dell'altro.

spero di essere stato chiaro.

[Thomas16]

cambi le carte in tavola perchè lasci arbitrarietà anche sulla g... Nebula dovresti chiarire bene i problemi che ti poni ....

per l'ultima questione trova tu un contro-esempio... devi solo trovare un intervallo in cui la funzione x|logx| sia decrescente e poi costruire la f avente come immagineun solo punto e lo zero e la g parimenti....

cmq era più interessante la questione con g particolare...

[Nebula2]

non era importante quale fosse g, se leggi la mia domanda iniziale, che mi sembra ben posta.
se vuoi la riformulo:
$0 $0
ciò di cui sono quasi sicuro (e dico quasi perchè sono paranoico, spesso a ragione come hai letto nell'altro topic... ) è che l'affermazione "$f(x)|log(f(x))|<=g(x)|log(g(x))|$ $AAx|f(x)<=g(x)$" sia falsa in un insieme non di misura nulla.
beh, lo si può ragionevolemente dire senza controesempi, penso, no?

cmq, forse un controesempio è
$f:=e^{-e^{|x|^2}}
$g:=e^{-|x|^2}

risulta
$h(x):=f(x)|log(f(x))|-g(x)|log(g(x))|=e^{-e^{|x|^2}}e^{|x|^2}-e^{-|x|^2}|x|^2=e^{|x|^2}(e^{-e^{|x|^2}}-e^{-2|x|^2}|x|^2)

dato che (intendendo 0 come vettore, ovviamente)
1) $f(0)=1/e 2) $h(0)=1/e>0
3) $f,g,h$ sono continue

allora l'affermazione in grassetto è falsa.

ho sbagliato i calcoli da qualche parte?

ps. grazie per la pazienza, thomas

[Thomas16]

"Nebula":non era importante quale fosse g, se leggi la mia domanda iniziale, che mi sembra ben posta.
se vuoi la riformulo:
$0 $0
ciò di cui sono quasi sicuro (e dico quasi perchè sono paranoico, spesso a ragione come hai letto nell'altro topic... ) è che l'affermazione "$f(x)|log(f(x))|<=g(x)|log(g(x))|$ $AAx|f(x)<=g(x)$" sia falsa in un insieme non di misura nulla.
beh, lo si può ragionevolemente dire senza controesempi, penso, no?

cmq, forse un controesempio è
$f:=e^{-e^{|x|^2}}
$g:=e^{-|x|^2}

risulta
$h(x):=f(x)|log(f(x))|-g(x)|log(g(x))|=e^{-e^{|x|^2}}e^{|x|^2}-e^{-|x|^2}|x|^2=e^{|x|^2}(e^{-e^{|x|^2}}-e^{-2|x|^2}|x|^2)

dato che (intendendo 0 come vettore, ovviamente)
1) $f(0)=1/e 2) $h(0)=1/e>0
3) $f,g,h$ sono continue

allora l'affermazione in grassetto è falsa.

ho sbagliato i calcoli da qualche parte?

ps. grazie per la pazienza, thomas

non ringraziarmi per la pazienza (mi pare anzi di comportarmi in modo un pò sgarbato, perdonami se ho ragione )... al momento sono in vacanza e purtroppo non dormo molto e non ho la lucidità giusta per seguire i tuoi calcoli .... nè per rifarli... nè (mi spiace) per capire le tue obiezioni...

cmq se vuoi sapere solo questo (e cambi ogni volta le tue richieste, non importa che siano tutte legate!)... basta prendere un intervallo in cui h(x)=x|log(x)| sia decrescente e dare alla f ed alla g un solo valore nell'immagine... di modo che sia f(x)<=g(x) ma h(f(x))>h(g(x)).... se questo intervallo esiste è uno studio di funzione.... se esiste, contro-esempio trovato, se non esiste la tesi è vera perchè vuol dire che f(x)<=g(x)=>h(f(x)<=h(g(x)).... ed io ora mi fermo quà...