Dubbi vari pre-esame

[Demostene92]

Ciao a tutti!
Vista la vostra immensa disponibilità, alla luce del fatto che tra qualche giorno dovrò sostenere l'esame di Matematica II, volevo "approfittare" di voi per chiarirmi alcuni dubbi! Scusatemi per il termine "approfittare": non è ovviamente da considerare in senso letterale.
Classifico le domande per argomenti, in modo tale da potervi permettere di inquadrare subito i problemi.

Equazioni Differenziali.
Volevo chiedervi un paio di cose.

1)
Supponiamo di avere una generica equazione differenziale e supponiamo che la sua soluzione sia:

$y(t)=c_1e^t+c_2e^-t$

Prendendo spunto da alcuni esercizi che ho visto ricorrere in alcune sessioni di esame precedenti, vi chiedo quanto segue. Come faccio a stabilire la dimensione dello spazio vettoriale contenente tutte le soluzioni limitate per, ad esempio, $t->infty$?
L'unico mio punto di partenza è il fatto che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine $n$ costituisce uno spazio vettoriale di dimensione $n$, ma non so come continuare.

2)
Supponiamo ora di avere determinato la soluzione per una generica equazione differenziale.
Nel caso in cui mi vengano dati alcuni valori iniziali, ad esempio:

$y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0, ...$ (li ho scritti puramente a caso)

e mi venga chiesto di dimostrare l'unicità di tale soluzione per queste condizioni iniziali (SENZA fare i calcoli), come devo procedere?
Avevo pensato alla condizione di Lipschitz: è corretto? (Non mi uccidete verbalmente, vi prego xD)
E' che non ho mai fatto esercizi di questo tipo, ma solo risolto problemi di Cauchy nel modo "standard" (con i calcoli).


Serie di Funzioni
Questo è l'ultimo argomento in assoluto che mi manca da fare per terminare il programma.
Ho già fatto in precedenza le serie numeriche; ho iniziato a guardare le serie di funzioni oggi, coperto di stanchezza, e quindi, come potete immaginare, il risultato non è stato dei migliori...
Però c'è un concetto di fondo che non comprendo appieno: la differenza tra convergenza puntuale e convergenza uniforme. Se me la poteste spiegare con uno (o più) esempi sareste veramente dei grandi.

Domani in ogni caso riprenderò la teoria delle serie di funzioni e mi ci sbatterò!

Vi ringrazio di cuore.

[Demostene92]

up

[Demostene92]

L'esame è domani... Ovviamente non pretendo niente, dato che la colpa se ho ancora delle cose da chiarire è esclusivamente mia, però se mi riusciste a rispondere mi fareste un enorme piacere!

[Rigel1]

"Demostene92":
1)
Supponiamo di avere una generica equazione differenziale e supponiamo che la sua soluzione sia:

$y(t)=c_1e^t+c_2e^-t$

Prendendo spunto da alcuni esercizi che ho visto ricorrere in alcune sessioni di esame precedenti, vi chiedo quanto segue. Come faccio a stabilire la dimensione dello spazio vettoriale contenente tutte le soluzioni limitate per, ad esempio, $t->infty$?
L'unico mio punto di partenza è il fatto che l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine $n$ costituisce uno spazio vettoriale di dimensione $n$, ma non so come continuare.

Nell'esempio da te citato vedi subito che deve essere $c_1 = 0$, altrimenti la soluzione diverge a $\pm\infty$ (a seconda del segno di $c_1$) quando $t\to +\infty$.
Di conseguenza le soluzioni limitate sono del tipo $y(t) = c_2 e^{-t}$, e dunque costituiscono uno spazio vettoriale di dimensione $1$ (la dimensione è data dal nr. di parametri liberi).

2)
Supponiamo ora di avere determinato la soluzione per una generica equazione differenziale.
Nel caso in cui mi vengano dati alcuni valori iniziali, ad esempio:

$y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0, ...$ (li ho scritti puramente a caso)

e mi venga chiesto di dimostrare l'unicità di tale soluzione per queste condizioni iniziali (SENZA fare i calcoli), come devo procedere?
Avevo pensato alla condizione di Lipschitz: è corretto? (Non mi uccidete verbalmente, vi prego xD)
E' che non ho mai fatto esercizi di questo tipo, ma solo risolto problemi di Cauchy nel modo "standard" (con i calcoli).

Dovresti scrivere l'equazione come sistema di $n$ equazioni del primo ordine, e controllare che sia verificata la condizione di Lipschitzianità del classico teorema di esistenza e unicità (per le eq. lineari è sempre verificata).

Serie di Funzioni
Questo è l'ultimo argomento in assoluto che mi manca da fare per terminare il programma.
Ho già fatto in precedenza le serie numeriche; ho iniziato a guardare le serie di funzioni oggi, coperto di stanchezza, e quindi, come potete immaginare, il risultato non è stato dei migliori...
Però c'è un concetto di fondo che non comprendo appieno: la differenza tra convergenza puntuale e convergenza uniforme. Se me la poteste spiegare con uno (o più) esempi sareste veramente dei grandi.

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